LÓGICA -PARTE I
PEDAGOGÍA
GUSTAVO BUENO, pfe@filosofia.org
PROYECTO FILOSOFÍA EN ESPAÑOL, INTERNET, 2000
ORIGINAL


Título completo "Curso de lógica para educación secundaria" [1]

La lógica estudia el orden que en la ciencia introduce nuestro entendimiento. Orden que no tiene nada de arbitrario, sino que se ajusta a leyes muy precisas y rigurosas. Este orden y leyes se manifiestan especialmente en los razonamientos o argumentaciones, que tienen en la ciencia el importantísimo papel de proporcionarnos conocimientos mediatos. La verdad de algunos de nuestros conocimientos es captada inmediatamente, verbigracia cuando afirmamos que hoy llueve. Por el contrario, tenemos conocimientos cuya verdad no puede captarse inmediatamente por medio de la experiencia, sino que proceden mediatamente de otros anteriormente admitidos. Por ejemplo, cuando decimos que somos mortales, cosa que afirmamos por saber que todo hombre es mortal y que nosotros somos hombres, no porque hayamos tenido experiencia directa de tan desagradable característica.

La forma del razonamiento

        La lógica tiene el importantísimo cometido de dar a conocer las leyes del razonamiento. Leyes del razonamiento que determinan lo que se ha llamado forma del razonamiento, noción que debe distinguirse cuidadosamente de la materia del razonamiento. Considérense los ejemplos siguientes:

1. Todo hombre es mortal, todo chino es hombre, luego todo chino es mortal.


2. Todo hombre es plumífero, todo simio es hombre, luego todo simio es plumífero.
3. Todo hombre es mortal, todo chino es mortal, luego todo chino es hombre.

        Estos razonamientos nos hablan -en cada una de sus proposiciones- acerca de la realidad, es decir, tienen un contenido o materia (la mortalidad del hombre, la humanidad del chino, etc.) que es diferente para cada uno de ellos.
        Pero esta diferencia no impide que entre estas argumentaciones haya una gran semejanza en cuanto a su forma o estructura. Es más, el ejemplo primero y el segundo tienen una forma perfectamente idéntica, que puede esquematizarse de la manera siguiente:

Todo A es B,
todo C es A,
luego todo C es B.

        Pues bien, la lógica que aquí vamos a estudiar se ocupa de la forma o estructura de los razonamientos, dejando de lado el contenido o materia de los mismos. Por esta razón recibe la lógica el apelativo de formal.

La verdad y la corrección

        Todo razonamiento consta de dos partes: 1) Las premisas o antecedente, que son las proposiciones en cuya verdad nos apoyamos para adquirir un nuevo conocimiento. 2) La conclusión o consecuente, que no es sino la proposición en la que se expresa el nuevo conocimiento adquirido (suele ir encabezado por la palabra "luego").
        Volvamos de nuevo nuestra mirada hacia los ejemplos antes expuestos. A nadie se le habrá escapado la observación siguiente: en los ejemplos 1 y 3 se extrae una conclusión verdadera de premisas verdaderas, mientras que en el ejemplo 2 tanto el antecedente como el consecuente son falsos con toda evidencia. Y, sin embargo, la lógica formal rechazaría el ejemplo 3 y aceptaría el 2; de modo que alguno quedará sumido en la perplejidad ante proceder tan arbitrario: ¿No es acaso más aceptable decir "todo chino es hombre" que afirmar "todo simio es plumífero"?


        Pero el lógico tiene sus razones, que pueden reducirse a la distinción entre verdad formal y verdad material. Por verdad material o verdad sin más se entiende la adecuación de lo que se dice en la proposición con la realidad. La verdad formal o corrección no se da por relación a los objetos reales, sino por relación a las leyes lógicas de las que hablábamos. Como quiera que al lógico sólo le interesa la verdad formal y deja de lado la verdad material o alcance real de las proposiciones en los razonamientos, nada tiene de extraño que considere lógicamente aceptables tanto el primero como el segundo de nuestros ejemplos, porque ambos están en conformidad con las leyes lógicas del silogismo, aunque materialmente el segundo ejemplo sea falso. Y conforme a este mismo criterio formal, el lógico rechazará el ejemplo 3, ya que no se atiene a las leyes del silogismo: que el hombre y el chino coincidan en ser mortales no es argumento para afirmar que el chino es hombre. Que la conclusión sea verdadera es mera casualidad. Si en vez de "chino" hubiéramos puesto "gato", la conclusión seróa falsa sin que el razonamiento tuviera una estructura diferente y sin que las premisas fuesen por ello falsas. La verdad de esta conclusión no se apoya, pues, en las premisas.

Lógica y lenguaje

        La lógica estudia cuándo la forma de los razonamientos es correcta, es decir, se atiene a las leyes de la lógica. El procedimiento más natural para lograr esa finalidad es la consideración del lenguaje en que se expresan los razonamientos. Pues el lenguaje desde el punto de vista sintáctico manifiesta con notoria claridad la forma de los razonamientos.
        El signo lingüístico puede estudiarse, al menos, según dos dimensiones: la sintaxis y la semántica. La dimensión sintáctica del signo lingüístico es la relación en que se halla con otros signos. La dimensión semántica nace de relacionar el signo con lo significado. Así, si decimos que "hombre" es sujeto de la oración "el hombre es bípedo", consideramos la dimensión sintáctica del signo en cuestión. Si, por el contrario, decimos que por hombre se entiende una determinada especie de animales diferenciada de los otros animales por ser racional, consideramos semánticamente el signo "hombre".
        La sintaxis de los términos, no su significado, es excelente guía para captar la forma de los razonamientos. Así, al buscar la estructura común de los razonamientos arriba citados se abandonan los elementos con un significado para considerar los elementos carentes de significado, o elementos sintácticos (todos... son...; luego... etcétera...).
        Los elementos sintácticos del lenguaje son aquellos signos que sólo tienen sentido en función de otros términos a los que acompañan, razón por la cual reciben el apelativo de sincategoremáticos o que están junto a los categoremáticos. Signos categoremáticos son los que tienen un significado por sí solos, con independencia de los que le acompañan; verbigracia, "hombre", "chino", "animal", etc.
        Aunque a través de la sintaxis del lenguaje ordinario, del lenguaje cotidiano, pueda adquirirse la forma de la argumentación, este lenguaje tiene una tal complejidad que, a menudo, esconde en sus entresijos la forma de los razonamientos, dificultando enormemente la labor del lógico. Dificultad que, en ocasiones, llega a originar argumentaciones erróneas, apoyadas en una estructura lógica que no es más que apariencia de tal. Veamos, pues, algunos ejemplos:

4. Todo gato es una herramienta, todo gato maúlla, luego algunas herramientas maúllan.
5. Armario es un mueble, mueble tiene dos sílabas, luego armario tiene dos sílabas.

        Evidentemente, algo falla en la forma de estos razonamientos. En el 4, el término gato, que debiera servir de enlace entre "herramienta" y "maúlla", está tomado con sentidos diferentes, de modo que vale como si fueran dos términos y pierde así su capacidad de unir los otros dos. Los términos como "gato" se llaman equívocos. El ejemplo, el 5 tiene también un término medio engañoso, por cuanto que es utilizado de maneras diversas: en un caso, mueble está puesto por unos objetos reales y, en otro, por una palabra. El término gato está empleado con suposiciones diversas.
        Casos de razonamientos como éstos han dado lugar a que los lógicos hayan procurado atajar los errores procedentes del lenguaje natural. Y para ello se han servido de dos procedimientos: la formalización y la simbolización.

Formalización y simbolización

        La formalización de la lógica es el proceso por el cual se hacen explícitos, se sacan a la luz, todos los elementos que dan corrección puramente formal a los razonamientos, de forma tal que el contenido semántico de los términos empleados no interfiera en la validez de dicho razonamiento. Así, desde el momento en que se explicite en el ejemplo que los términos son cuatro y solo tres en apariencia, se habrá alcanzado una formalización más perfecta del razonamiento en cuestión.
        La lógica clásica -nacida con el Organon de Aristóteles y continuada hasta nuestros días principalmente a través de la escolástica (Pedro Hispano, San Alberto Magno, Juan Buridán, etc.)- tenía muy claramente este designio formalizador, que es en realidad consustancial a la lógica. Para ello solían, ya desde Aristóteles, sustituir los términos categoremáticos por letras, de forma que, al apartar el sentido de estos signos, no nos arrastren a admitir argumentaciones por razones ajenas a la forma.
        La simbolización consiste en la utilización de signos artificiales (que no pertenecen al lenguaje natural) que sustituyen a los signos del lenguaje natural para facilitar las operaciones del cálculo lógico. Cuando la lógica está simbolizada, no sólo se sustituyen los signos categoremáticos por símbolos, sino también los elementos sintácticos del lenguaje (por ejemplo, los signos si... entonces, del lenguaje natural se verán sustituidos por el símbolo "...."
        La simbolización, es decir, el uso de símbolos en lugar tanto de signos categoremáticos como sincategoremáticos, es la operación sobreañadida a la formalización que caracteriza a la llamada lógica simbólica o matemática. Este nuevo enfoque de la lógica data de mediados del siglo XIX, y entre sus más conspicuos representantes cuenta con Boole, Frege, Russell, Lukasiewicz y Hilbert.

Funtores y argumentos

        La lógica matemática recibe este nombre porque su inspiración directa se halla precisamente en esta ciencia, en la matemática. Esto se manifiesta muy especialmente en la distinción entre funtores y argumentos, que viene a ocupar el puesto de la vieja distinción entre términos categoremáticos y sincategoremáticos.
Consideremos el siguiente teorema matemático:

(x+ y)2 = x2 + 2 x y + y2

        En él aparecen unos términos que pueden sustituirse por cualquier cantidad: son las variables (x e y, en este caso). El teorema conserva el mismo valor sean cuales fueren las cantidades que sustituyan a dichas letras, por lo cual reciben la denominación de "variables" o "argumentos". Pero vemos otros signos que representan solamente relaciones entre aquellas variables ("+", "=") y no expresan contenido alguno. Se trata de las "constantes" u "operadores". Tales formulaciones algebraicas representan así una "estructura" susceptible de llenarse con contenidos diversos.
        De modo análogo ha sido interpretado el lenguaje por los lógicos matemáticos. El discurso hablado se compone, como vimos, de unos vocablos que designan contenidos, y otros significativos sólo de relaciones entre ellos. Estos últimos son las constantes lógicas, o, mejor, los operadores, correctores o funtores (por ejemplo, "o", "y", "todos", "no", "algunos", etc.).
        Los contenidos pueden ser términos (perro, hombre, racional) o proposiciones completas (el perro ladra), de modo que puede distinguirse entre argumentos terminales (puestos en lugar de términos) y argumentos proposicionales (puestos en lugar de proposiciones).
        Paralelamente ha de distinguirse entre funtores proposicionales (que relacionan argumentos proposicionales) y funtores terminales (que relacionan argumentos terminales). Por ejemplo, la argumentación siguiente:

Si llueve, entonces la calle se moja.
Llueve,
luego la calle se moja.

        Si en esta argumentación sustituimos "si... entonces" por el funtor (ver funtor 1), el signo "luego" por (ver funtor 2) (funtores proposicionales) y las proposiciones de que consta por "p" y "q" (argumentos proposicionales) tendremos el siguiente esquema: (ver esquema)
        Si, por otro lado, queremos expresar simbólicamente las relaciones entre los términos en la proposición "los hombres son animales", pondremos "A" en lugar de hombres; "B", en lugar de "animales" (argumentos terminales), y sustituiremos "es" por (ver funtor 3).

El cálculo lógico

        La lógica matemática, según hemos visto en el capítulo precedente, utiliza un lenguaje simbolizado, a cuyos argumentos puede darse interpretaciones o sentidos diversos, sin cambiar por ello la estructura o forma de los razonamientos, que viene expresada por los funtores. Este método, que pretende sacar a luz las estructuras del lenguaje, tiene su culminación en lo que llamamos un cálculo lógico. En tal cálculo se suprime toda referencia al significado y verdad de las variables hasta llegar a operarse sobre una pura estructura o sistema de relaciones. En él se derivan todas las expresiones de modo mecánico desde unos elementos primeros (signos y axiomas principalmente) y merced a unas reglas que veremos seguidamente. De la misma manera que los funtores y los argumentos pueden ser bien "proposicionales" o "terminales" se da la posibilidad de llevar a cabo un cálculo proposicional o terminal. El cálculo proposicional será el final de la llamada lógica proposicional, que considera solo los funtores proposicionales y cuyos argumentos son proposiciones completas, sin analizar. El cálculo terminal puede ser de diversos tipos (de predicados, de clases o de relaciones), pero siempre se caracteriza porque contiene funtores terminales.

El análisis lógico elemental del lenguaje

        El primer análisis que la lógica hace del lenguaje consiste en dividirlo simplemente en proposiciones y en los funtores que enlazan esas proposiciones. El siguiente párrafo de Menéndez Pelayo puede servirnos de ejemplo:

"... aunque no sean muchos los librepensadores españoles, bien puede afirmarse de ellos que son de la peor casta de impíos que conoce el mundo; porque, a no estar dementados como los sofistas de cátedra, el español que ha dejado de ser católico es incapaz de creer en cosa alguna"...

        Puede reducirse este pasaje a unas proposiciones sin analizar en sus elementos ("no sean muchos los librepensadores españoles", "puede afirmarse de ellos", "son de la peor casta de impíos", etc.), y los elementos que expresan las relaciones sintácticas entre esas proposiciones ("aunque... bien", "que", "porque"). Puede decirse, en resumen, que en la lógica proposicional todo el discurso se divide en:

- Variables proposicionales (argumentos que sustituyen los posibles contenidos de las proposiciones).
- Funtores proposicionales (constantes que enlazan oraciones).
Mas también a todo ese párrafo de Menéndez Pelayo puede considerárselo una proposición. Lo cual nos obliga a distinguir en el seno de las proposiciones entre:
- Proposiciones moleculares: aquellas que pueden descomponerse en partes que son también proposiciones. (Así, toda la proposición citada.)
- Proposiciones atómicas: aquellas que no pueden descomponerse en partes que sean también proposiciones. (Por ejemplo, todas las proposiciones en que hemos descompuesto la mencionada proposición compleja o molecular.) Esta distinción equivale a la que utiliza la gramática entre oraciones simples y compuestas.

        ¿Qué son, entonces, las proposiciones? Por proposición entendemos una formación lingüística que, por expresar una situación real u objetiva, es verdadera o falsa. Estos calificativos de verdadera o falsa que puede aplicarse a toda proposición se llaman valores de verdad (valor de verdad "falso" y valor de verdad "verdadero").
        Extrañará quizá que se hable aquí de verdad y falsedad, dado que la lógica se desentiende, como hemos dicho, de la significación de los enunciados, y, por lo mismo, de su verdad o falsedad, nociones que se reservan a la Teoría del Conocimiento. A la lógica formal le interesa -esto sí- que a cada variable enunciativa pueda asociársele siempre un valor de verdad a fin de estudiar los modos cómo el valor de verdad de cada proposición determina el valor de verdad de otras.
        Estos valores de verdad, puesto que afectan a toda proposición, podrán decirse tanto de las proposiciones atómicas como moleculares. Ahora bien, no es lo mismo decir que es verdadera una proposición atómica que una proposición molecular. Porque la verdad de las proposiciones atómicas es la adecuación con la realidad que significan, mientras que, según veremos, la verdad de las proposiciones moleculares depende no de la realidad exterior, sino de los valores de verdad que posean las proposiciones atómicas que la componen.
        Con lo cual estamos en situación de interpretar correctamente la siguiente definición del cálculo proposicional: "El cálculo proposicional estudia cómo la verdad (o la falsedad) de una proposición molecular es función (posee una relación de correspondencia determinada) con los valores de verdad (o falsedad) de las proposiciones más simples o atómicas que la componen".

Tablas de verdad

        La dependencia del valor de verdad de las proposiciones moleculares respecto a las atómicas que las componen, pueden apreciarse en un sencillo ejemplo: "Si llueve, entonces la calle se moja".
        Esta proposición compuesta de dos simples o atómicas será falsa si lo es la segunda proposición y verdadera la primera. En los demás casos posibles la proposición molecular podrá ser verdadera.
        El valor de verdad asignado a la proposición molecular en su conjunto depende exclusivamente del valor que tengan las proposiciones atómicas y de nada más. (ver tablas de verdad)
        Por ende, siempre que la proposición encabezada por la conjunción "si" (el antecedente) es verdadera, y la proposición encabezada por "entonces" (el consecuente) es falsa, la proposición molecular será falsa. En todos los demás casos será verdadera, sea cual fuere el significado de las proposiciones unidas por tales elementos sintácticos. Por esto, siempre que aparezca el funtor "si... entonces" con el sentido aquí empleado, los valores de verdad de la proposición así formada serán siempre los que aparecen en la tabla.
        Merced a tablas semejantes a la propuesta, pueden definirse los diversos conectores proposicionales. En nuestro ejemplo definiríamos el conector "si... entonces" como aquel que siempre es verdadero salvo en el caso de que la primera de las proposiciones simples que enlaza sea verdadera y falsa la segunda. En seguida veremos cómo se simbolizan dichas tablas de verdad.
        Existe un procedimiento simbólico, más manejable que el arriba expuesto, para dar a conocer los valores de verdad que arroja la unión de varias proposiciones simples al ser determinadas por un funtor y constituir así una proposición molecular.
        Pero antes de exponer este procedimiento, que recibe el nombre de tablas de verdad, es necesario conocer dos clases de símbolos:

a) Los variables o argumentos proposicionales, que, como sabemos, representan cualquier enunciado simple se simbolizan universalmente por medio de las letras "p", "q", "r", etc.
b) Los valores de verdad de estas proposiciones se simbolizan mediante las letras "V" si es la verdad y la "F" si es la falsedad.

        El procedimiento de las tablas de verdad consiste en lo siguiente:

1. Establecimiento de las posibles combinaciones de valores de verdad de los argumentos determinados por el funtor en cuestión. Por ejemplo, para una fórmula que contenga dos argumentos diferentes ("p" y "q") utilizaremos un esquema del siguiente tipo:
Naturalmente, si el funtor determina un número mayor de argumentos la tabla se complicará. Por el contrario, se simplificará si solo determina a un argumento. En este último caso, tendremos el siguiente esquema:
2. A la derecha de la tabla arriba expresada se colocarán los valores de verdad de la proposición compleja en correspondencia con cada combinación de valores de verdad.

NOTAS
1. El documento remite a una tabla y unos gráficos. No disponemos de ese material. Quedaban dos caminos: a) eliminar ciertas partes del documento y b) dejar las referencias sin resolver. Queda claro que hemos optado por la segunda instancia, por otro lado los objetos faltantes se siguen fácilmente del texto (Nota de Presencias).