LÓGICA -PARTE II
PEDAGOGÍA
GUSTAVO BUENO, pfe@filosofia.org
PROYECTO FILOSOFÍA EN ESPAÑOL, INTERNET, 2000
ORIGINAL


Título completo "Curso de lógica para educación secundaria" [1]

Los funtores proposicionales

En nuestro lenguaje usual, los más corrientes términos sincategoremáticos (conjunciones, proposiciones, etc., que sólo adquieren sentido unidos a términos categoremáticos) que unen proposiciones son los siguientes: la negación "no", la conjunción "y", el signo de la disyunción "o", la condicional "si... entonces", la condición reforzada "si y sólo si... entonces".


        Nótese que entre estos funtores los hay que pueden determinar a una sola proposición (aunque también puedan determinar a más). Me refiero a la negación. Otros, por el contrario, determinan al menos a dos proposiciones simples: la conjunción, la disyunción, etc. Los primeros reciben el nombre de funtores monádicos, los segundos el de funtores diádicos.

La negación

        Al añadir el signo de negación a una variable proposicional obtenemos una nueva proposición que se lee "no p". Su valor de verdad será exactamente el contrario del valor de verdad de p. Lo expresaríamos en palabras diciendo que si "p" es verdadera, entonces "no-p" es falsa, y viceversa.

Conjunción

        Este funtor se lee "p y q". Por medio de ese símbolo obtenemos una proposición molecular, cuyo valor de verdad estará en función del de las proposiciones que la integran.


Por lo cual la conjunción de p y q sólo será verdadera si ambas variables lo son. Por ejemplo, sería una proposición falsa: "La Tierra gira alrededor del Sol y el Sol no tiene luz propia", por más que la primera proposición sea verdadera.

Disyunción

        Este funtor puede leerse "p o q". Pero debe tenerse gran cuidado con el término "o" del lenguaje natural, porque a más del presente tiene otros sentidos. Aquí usamos "o" en el sentido de "necesariamente uno u otro o ambos a la vez". Verbigracia, cuando decimos "para ser secretario hay que saber inglés o hay que saber francés". Pero en castellano "o' se usa también con sentido exclusivo, cuando puede sustituirse por una expresión como "lo uno o lo otro, pero no las dos cosas a la vez". Por ejemplo, "Juan es gallego o asturiano". En ocasiones, se usa también este término para expresar una alternativa necesaria en el sentido de "necesariamente lo uno o lo otro, pero no los dos a la vez". Por ejemplo, cuando decimos "Juan es rubio o no lo es".
        El operador de la disyunción se define por consiguiente como aquel que arroja el valor de la falsedad sólo cuando son falsas las dos expresiones que une.

Condicional

        Esta expresión puede leerse "p implica q", o "si p entonces q". Anteriormente vimos que el funtor de la implicación se definía como aquel que sólo da el valor de falsedad cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.
Es de notar aquí que no pueden invertirse de orden las expresiones que une el funtor condicional, contra lo que sucedía en los casos de la conjunción y la disyunción. Por ejemplo, en la proposición compuesta "Si llueve, entonces el suelo se moja", puede suceder que no llueva, pero que el suelo se moje por haberlo regado u otro motivo. Si ponemos un enunciado falso antes del funtor de la condicional y después un enunciado verdadero, el resultado es el valor de verdad de la proposición compuesta; pero a la inversa no sucede lo mismo: si lloviera y el suelo no se mojara, dicha proposición sería falsa. En la implicación, pues, es esencial el orden de los valores de verdad.

Bicondicional o equivalencia

        Leeríamos esta expresión diciendo "p equivale a q" o "si y sólo si p, entonces q". Se trata, pues, no de una mera condición suficiente como la condicional, sino de una condición suficiente y necesaria.
        "Si y sólo si Juan sabe griego podrá leer en su idioma original las obras de Aristóteles". Es claro que no puede ser verdadero lo segundo sin que lo sea lo primero.
Existen otros conectores proporcionales que, a pesar de su interés lógico, pueden definirse mediante los que hemos ya visto. Incluso cabe realizar reducciones entre los funtores enumerados definiendo unos por medio de otros. Así, la implicación puede reducirse a una fórmula donde sólo aparezcan el funtor de la disyunción y el de la negación.
        Aunque pueda llegarse a reducir a dos los funtores, e incluso a uno solo, por razones de brevedad y claridad se utilizan los cinco que hemos reseñado. Una excesiva simplificación origina formulaciones demasiado largas y complejas.
        A partir del momento en que unimos dos proposiciones simples con un funtor monádico o diádico obtenemos una proposición molecular. A su vez, tal proposición puede entrar a formar parte de otra más compleja y así sucesivamente. Para evitar equívocos se utilizan en estos casos los paréntesis como la fórmula que acabamos de exponer. Toda formulación que contenga más de un funtor deberá contener necesariamente paréntesis. La fórmula (ver formula ambigua) es ambigua, ya que puede expresar cosas tan diferentes como las dos proposiciones moleculares siguientes, que, sin embargo, constan de las mismas proposiciones atómicas:

1. Si Juan tiene mucho dinero y le hace la corte se casará con Elisa.
2. Juan tiene mucho dinero y si le hace la corte se casará con Elisa.

        Basta con emplear los paréntesis adecuadamente para que desaparezca el equívoco, pues la primera de estas proposiciones se simbolizaría como y la segunda

Evaluación

        Toda proposición por compleja que sea posee, como hemos visto, un valor de verdad en función de las proposiciones menos complejas que la integran. La operación que llamamos evaluar es un procedimiento para asignar valores de verdad a toda fórmula en dependencia siempre de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
        Los paréntesis simbolizan las subordinadas existentes en el seno de cualquier fórmula, de tal suerte que cabe establecer una jerarquía de operadores en ella. Aquel operador binario que se halla fuera de todo paréntesis será el principal, y su valor de verdad dependerá de las proposiciones (simples o complejas) que relacione.
        La equivalencia posee su valor de verdad en dependencia del que posean las fórmulas que se encierran en cada paréntesis. Y éstas, a su vez, serán verdaderas o falsas según lo sean las proposiciones simples de que se componen.
        El procedimiento más claro para hallar los valores de verdad se llama de las matrices. En él se parte de los valores de verdad de los elementos más simples (las proposiciones atómicas) y se van de izquierda a derecha, los valores de cada fórmula parcial según el orden que nos señala la jerarquía de funtores.
        Nótese que siempre se ha de empezar desde lo más simple, y que, según la jerarquía de funtores que aparecen en la fórmula, se asciende hasta el principal (que en este caso es el de la condicional). Tres pueden ser los resultados que arrojen las fórmulas: que la fórmula sea siempre verdadera, que sea siempre falsa, o, como en nuestro ejemplo, que resulte a veces verdadera y a veces falsa.
        Cuando tenemos fórmulas que arrojan unas veces la falsedad y otras la verdad nos hallaremos ante fórmulas realizables.
        Las leyes lógicas o tautologías son proposiciones formalmente válidas, es decir, esquemas verdaderos, sea cual fuere la proposición que ocupe las variables proposicionales. Las fórmulas contradictorias, a la inversa, siempre serán falsas; y las fórmulas indefinidas dependerán de la comprobación de los elementos más simples de la misma para conocer su valor de verdad conjunto. En otras palabras, en las fórmulas contradictorias y en las tautológicas sabemos que son verdaderas o falsas respectivamente sin necesidad de comprobar la objetividad de sus proposiciones atómicas, al paso que es necesario realizar esta comprobación de objetividad en los enunciados indefinidos.

Ejemplos de leyes lógicas

        Las leyes lógicas o tautologías tienen especialísima importancia para la lógica, pues, como bien sabemos, esta ciencia trata de hallar estructuras formales, siempre válidas, con independencia de la materia o contenido de que consten. Contra estos requisitos faltan las fórmulas realizables (porque su verdad depende de la materia que expresen) como las contradictorias (incorrectas siempre). El número de leyes lógicas es infinito
        La utilidad principal de las leyes lógicas es que permiten llevar a cabo razonamientos o inferencias de forma que se extraigan enunciados nuevos a partir de unas premisas. Y ello se logra, como vimos, gracias a la aplicación de las leyes lógicas que permiten realizar las transformaciones que esto supone. Podemos en virtud de la ley denominada ponendo ponens de la implicación, concluir q. Así, si p está puesto en lugar de "llueve" y q en lugar de "la calle se moja". Si tenemos como premisas "Si llueve, entonces la calle se moja" y "llueve", entonces podremos afirmar que la calle se moja.
        No se reducen a cosas tan simples las inferencias que podemos llevar a cabo por medio de las leyes de la lógica proposicional, sino que en ocasiones hay que dar más de un paso y aplicar por consiguiente las leyes lógicas más de una vez. Veamos un ejemplo de esto. Pero antes conviene aclarar que en la inferencia que sigue las premisas están numeradas a partir del 1 y cada una de ellas se distingue de los restantes "pasos" o líneas de inferencia porque llevan a su izquierda un guión. Tras las premisas vienen las mencionadas "líneas de inferencia", pocos dados siempre con la autorización de alguna de las leyes que conocemos. La ley que justifica cada paso se expresa a la derecha del mismo y hace referencia a la premisa que ha sido transformada.

La lógica de clases

        La lógica de clases investiga no ya las formas o estructuras que se dan entre proposiciones dentro del razonamiento, sino que llevando más allá su análisis, considera también las relaciones formales existentes entre los términos dentro de cada proposición.
En el capítulo anterior vimos cómo algunos razonamientos muestran su corrección con sólo considerar la estructura existente entre sus proposiciones, sin necesidad de analizar dichas proposiciones en sus términos. Por ejemplo, la siguiente argumentación, ya mencionada: "Si el sol calienta sube el termómetro, y el sol calienta, luego sube el termómetro", que no es sino una aplicación del modus ponendo ponens de la implicación.
        Pero hay razonamientos que exigen considerar las relaciones existentes entre los términos de la proposición, pues de sus relaciones mutuas surge la corrección del razonamiento. Verbigracia, el citado razonamiento:

Todo hombre es mortal.
Todo chino es hombre,
luego todo chino es mortal,

debe la validez de su conclusión al llamado término medio (hombre en este caso) que es el argumento o enlace entre los otros dos términos (chino y mortal). Por ende, si queremos conocer las leyes que rigen esas argumentaciones habrán de tenerse en cuenta las relaciones formales entre los términos.
        Desde dos puntos de vista podemos considerar los conceptos y los términos (que son su expresión lógica): la extensión y la comprensión o intensión

Comprensión y extensión. Propiedades de los conceptos

        Comprensión es el conjunto de notas o conceptos más generales que se hallan incluidos en un concepto. No puedo poseer el concepto hombre, por ejemplo, sin poseer antes, aunque sea confusamente, los conceptos ser animado o animal, viviente, ser corpóreo, ser en general. El concepto objetivo hombre supone todos esos conceptos previos. Su definición es animal racional, y si quiero definir animal tendré que apelar a viviente, etc.
        Extensión, en cambio, es el conjunto de conceptos menos generales o de cosas concretas a las que puede aplicarse (atribuirse) el concepto. Así, la extensión del concepto hombre es el conjunto de seres humanos, y el de europeo, el de los que habitan o han habitado nuestro continente.
        Estas dos propiedades lógicas de los conceptos, comprensión y extensión, guardan entre sí una relación inversa. Es decir, que a mayor comprensión de un concepto corresponde menor extensión en el mismo, y viceversa. Cuanto más se concreta una idea o concepto, más se limita su esfera de aplicabilidad, y cuanto más se amplia su sentido, mayor será su esfera de atribución. El concepto hombre supone una nota más que el de animal (la racionalidad); su comprensión es mayor, pero su extensión resulta menor, puesto que excluye de su campo a todos los seres animales no racionales. Inversamente, el concepto viviente posee una nota menor que el animal, y por lo mismo conviene a una mayor zona de seres: todos los vegetales que estaban excluidos del concepto animal.
        En los puntos extremos de esta doble relación se halla el concepto de máxima extensión y mínima comprensión, que es el de ser, y el de mínima extensión y máxima comprensión, que es el individuo (Juan, Pablo, Luis, etc.). El concepto de ser no posee más que una nota, la misma de ser, por encima de la cual ya no existe ninguna noción más general. Su extensión es, por lo mismo, la más dilatada: todas las cosas reales, materiales, espirituales, ideales, etc., forman parte de su esfera de aplicabilidad. El concepto individual, en el extremo opuesto, representado por el nombre de un individuo (Juan Pérez, por ejemplo), contiene un número indefinido de notas. Posee todas las del concepto hombre más el innumerable número de cualidades propias, individuales, que hacen a un individuo ser ése y no otro. Por ello mismo su extensión es mínima: sólo a ese individuo, Juan Pérez, se puede aplicar ese nombre y ese concepto.
        Estas dos propiedades de términos y conceptos (su comprensión y su extensión) permiten una doble consideración de los mismos, que es desarrollada por la lógica de predicados y la lógica de clases.

Noción de clase

        Clase es el conjunto de objetos a los que conviene un predicado determinado. Verbigracia, la clase de los navarros es el conjunto de individuos que cumplen la condición de haber nacido en un determinado reino español.
        Conocer la extensión de un concepto supone conocer su comprensión o intensión. ¿Cómo podemos saber si una cosa pertenece a la extensión de un concepto, si desconocemos las notas de que consta dicho concepto? Sólo si sabemos que "hombre" incluye las nociones de animal y de racional podremos aplicarlo a Juan, a Pedro, etcétera, y separar así el conjunto de objetos que cumplen las mencionadas propiedades.
        De ahí que para la definición precisa de las clases deba recurrirse precisamente a algunas nociones de la llamada lógica de predicados.
        La lógica de predicados adopta un punto de vista intensionalista o comprensivista al preocuparse de las propiedades y su conveniencia con los individuos.
        Sea la proposición "Juan canta". Esta proposición consta de un predicado (canta) y de un sujeto (Juan). El predicado tiene la característica de poder determinar a gran número de individuos, lo cual permite considerarlo un funtor. Al igual que el funtor de la negación en la lógica proposicional podía determinar un sinnúmero de proposiciones, así el funtor "canta" puede referirse a Juan, a Pedro, a Suintila, etc. Y de la misma manera que lo determinado por el funtor de la negación se llama su argumento, así lo determinado por "canta" será su argumento. Argumento que en este caso es terminal, no proposicional como el anterior.
        En la lógica de predicados se descomponen las proposiciones en una función {f} y un argumento (x). La función significa un predicado (o nombre de una cualidad) que está necesitado de complementación con un argumento del cual se predica. Así una proposición como "Elena es asturiana" podría expresarse por medio de la forma general f (a) si entendemos {f} como "es asturiana" y (a) como "Elena". De ahí extraemos la forma enunciativa absolutamente general f (x), donde f es cualquier predicado y x cualquier argumento de este predicado.
        La lógica de clases también se ocupa de la composición de las proposiciones, pero no desde el punto de vista intensional, sino desde el punto de vista de la extensión. En una función proposicional se dice del argumento que presenta una determinada nota o propiedad, mientras que en la lógica de clases se dirá que la extensión de un concepto esta incluida en la de otro. La proposición "Juan canta" no se interpretará ya en el sentido de que Juan cumple la nota de cantar; se dirá, por el contrario, que Juan pertenece a la clase de los que cantan.
        Por clase debemos entender la extensión de un concepto. Pero la noción de clase no está desligada de la de predicado, sino que constituye un aspecto complementario y dependiente de ella. Por lo mismo, a partir de todo predicado podemos formar una clase. Propongamos la cualidad de ser "enfermizo". La clase de los enfermizos será el conjunto de todas las entidades a que pueda aplicarse dicha cualidad.
        Existe un primer funtor de la lógica de clases que permite designar los individuos a los que conviene un determinado predicado, por modo tal que a partir de la función enunciativa se construye una clase. Sea la propiedad "ser taimado". Pongamos que de la función proporcional f (x), "f" es precisamente dicha propiedad y habremos convertido la mencionada función en un predicado que puede referirse a muchos argumentos, cosa que podría representarse de la forma siguiente: "... es taimado". El conjunto de los objetos que pueden llenar el lugar dejado por los puntos en esta expresión será la clase de los taimados. Esta clase puede expresarse mediante el funtor llamado abstractor (ver abstractor) que significa precisamente el conjunto de objetos que pueden ser argumentos de "... es taimado".

Signos de las clases

        Veamos distintas abreviaturas de clases. Para no emplear constantemente el abstractor con la forma enunciativa correspondiente, nos serviremos de las letras mayúsculas "A, B, C..., K, L, M" que expresan simbólicamente las clases. Por ejemplo, la clase de aquellos a los que conviene la propiedad de "ser ingenieros" se puede designar con la letra "A". Es decir, que podemos definir como sigue la clase "A".
        Pero si queremos hablar de individuos, utilizaremos las letras minúsculas de la "a" a la "z". Así, el individuo que lleva por nombre Napoleon quedaría reducido, por ejemplo, a la letra "a", y el objeto concreto que es la Luna a la letra "b". Supongámonos en la necesidad de hablar del conjunto de todos los objetos. Para simbolizar tan extenso dominio utilizaremos el signo "I", del cual sólo se excluyen los objetos contradictorios como serían "los triángulos de seis lados". A dicho conjunto le daremos el nombre de clase total. Para el conjunto de los objetos contradictorios consigo mismos reservaremos el signo "O", que denominaremos clase nula o vacía, pues no contiene ni cabe que contenga individuo u objeto alguno. Las clases pueden representarse mediante un procedimiento diagramático en el que cada clase se simboliza por medio de un círculo. El cuadro representa la clase total. Cuanto se halla fuera de dicha clase será la clase nula o vacía.

Funtores de clases

        Los funtores que expresan las posibles operaciones con clases deben, ante todo, dividirse en dos tipos inconfundibles entre sí. Unos sirven para componer clases más complejas a partir de otras menos complejas. Otros sirven para componer enunciados sobre clases, a los cuales se denomina "funtores enunciativos".
En efecto, no es lo mismo construir por medio de las dos clases "gaditanos" y "rubios" la clase de los "gaditanos rubios", que construir la proposición "algunos gaditanos son rubios" a partir de dichas clases. Porque de la última composición puede decirse que es verdadera o falsa, cosa que no sucede con la primera.
        Pero antes de detallar el estudio de los funtores resultan convenientes algunas observaciones:

1. En las definiciones que de ellos daremos se recurrirá al signo de la definición "= df ", que se sitúa entre el definiendum (lo que ha de definirse) y el definiens (definición). Por ejemplo: Hombre = df(animal racional).
2. También deberemos emplear los funtores proporcionales, ya que, como veremos, la lógica de clases supone la de proposiciones.
3. El funtor elemental, necesario asimismo para las definiciones que demos de los restantes funtores se simboliza por el signo (ver epsilon), que expresa pertenencia. Así, la proposición "Ataúlfo es un rey godo" se simboliza de esta manera: "Ataúlfo (ver epsilon) reyes godos". Que se leerá: "Ataúlfo pertenece a la clase de los reyes godos". Se llama a esta simbolización "pertenencia". Procedamos, pues, a la enunciación de los funtores de clases:

I. Funtores que sirven para la formación de nuevas clases a partir de otras

- Funtor complementario: . Por medio de este funtor se designan todos los individuos u objetos de la clase total que no pertenecen a la clase "A".
- Sumador: . Este funtor se lee "A más B", y da como resultado una nueva clase que incluye todos los objetos que pertenecen a A y a B o a ambas.
- Productor: El resultado de aplicar a dos clases este funtor nos proporciona "el producto de A y B" o clase promedio, que es aquella constituida por los objetos que pertenecen a la vez a A y a B.

II. Funtores enunciativos

- Igualador: A = B. Una clase es igual a otra cuando todos los miembros de una son miembros de la otra y viceversa. Al aplicar tal igualador a las clases "A" y "B" tendríamos como resultado que A es igual a B.
        Para definir correctamente los funtores enunciativos de la lógica de clases precisamos aludir a los cuantificadores. Estos funtores pertenecen a la lógica de predicados e indican la cantidad de la forma enunciativa. Por ejemplo: de la proposición "todo hombre es mortal", la forma enunciativa general expresa solamente "hombre es mortal". Será preciso saber la extensión en que se toma el término sujeto, lo cual se simboliza por el signo (x) o generalizador. Así tendremos el enunciado: (x) fx, que se lee "para todo x vale fx".
        La definición aquí dada, según la cual "la clase A es igual a la clase B", se leería: "para todo x vale que si y sólo si x pertenece a A, entonces x pertenece a B'. Ejemplo: "La clase de los hombres es igual a la de los bípedos implumes".
- Funtor de la inclusión: Decimos que la clase A está incluida en la clase B cuando todos los miembros de A son también miembros de B. La operación que realizamos con este funtor se denomina inclusión, que, al darse entre las clases A y B, diremos: "A está incluido en B". Una inclusión se da, por ejemplo, en el siguiente enunciado: "La clase de los franceses incluye la clase de los franceses solteros". No ha de confundirse la inclusión con la pertenencia. La inclusión se da solamente entre términos del mismo tipo lógico, es decir, entre clases; al paso que la pertenencia se produce entre un individuo y una clase. En el caso de la pertenencia es verdadera la proposición con ella formada sólo si un individuo "x" es miembro de una clase "A". Pero este individuo puede ser, bien un individuo último, bien una clase tomada como individuo. Los siguientes ejemplos de pertenencia pueden aclarar este punto:

Fruela es un rey godo.
Los reyes godos son numerosos.

        En ambos casos se toman los sujetos como individuos. La distinción entre inclusión y pertenencia se evidenciara si sabemos que la inclusión es transitiva, mientras que la pertenencia es intransitiva. Podemos decir, por ejemplo:

Todos los negros son hombres.
Todos los hombres son mortales,
luego los negros son mortales.

        Esto es posible solamente en la inclusión donde se da que si (ver inclusion 1) y (ver inclusión 2), entonces (ver inclusion 3). Pero no en la pertenencia, donde no se da siempre la propiedad de la transitividad. Así, no cabe decir:

Santiago es apóstol.
los apóstoles son doce,
luego Santiago es doce.

(Este absurdo nace de considerar que "apóstoles" está tomado como una clase y no como un individuo.)

Leyes del cálculo de clases

        Leyes que rigen el cálculo de clases son, entre otras:

- La clase nula está incluida en toda clase
- Tautología de la suma y tautología del producto. Respectivamente

        Otras leyes, en cambio, son traducción de leyes del cálculo proposicional.

- Ley de la doble negación. En lógica de proporciones es (ver doble negacion en lógica de clases) y en lógica de clases: A = A.
- Leyes de la dualidad de Morgan, que revisten en lógica de clases la forma siguiente
- La ley de la asociatividad es, en la lógica de proposiciones

        Al traducir estas leyes de una a otra lógica establecemos la siguiente interpretación de los funtores proposicionales
        Hay, sin embargo, leyes del cálculo proposicional que sólo pueden traducirse al cálculo de clases sirviéndose de los funtores proposicionales. Cuando se conexionan sólo clases simples o compuestas (como en los casos presentados) pueden utilizarse los funtores enunciativos del cálculo de clases. Pero si hemos de unir proposiciones, aunque están analizadas según el cálculo de clases, habremos de utilizar los funtores del cálculo proposicional.
        Queda así de manifiesto que la lógica de clases descansa sobre la lógica de proposiciones, que sin ésta no puede comprenderse. Ello se hace más patente al considerar el recurso que hemos debido hacer a los funtores proposicionales para definir los de la lógica de clases, al paso que aquellos se definen por medio de las tablas de verdad, sin recurrir a otro cálculo.

NOTAS
1. El documento remite a una tabla y unos gráficos. No disponemos de ese material. Quedaban dos caminos: a) eliminar ciertas partes del documento y b) dejar las referencias sin resolver. Queda claro que hemos optado por la segunda instancia, por otro lado los objetos faltantes se siguen fácilmente del texto (Nota de Presencias).