AFINACIÓN DE LA GAITA GALLEGA -II
ESTUDIOS DE ORGANOLOGÍA
CARLOS REAL - JESÚS VAAMONDE - MANUEL FERNÁNDEZ
GALICIA, ESPAÑA, DICIEMBRE DE 1999
ORIGINAL, ED. PreDeM, BUENOS AIRES, OCT-2002 y ABR-2003


ir a Parte I

Escalas, su formación y propiedades

        ¿Qué es una escala? Acabamos de comentar que el intervalo de octava se reconoce por todos los músicos del mundo, pero sólo con octavas no se puede hacer mucha música. Cada cultura musical escoge un cierto número de frecuencias intermedias entre las que marcan el intervalo de octava para utilizarlas en sus melodías. A cada una de ellas se le llama nota, y al conjunto, escala. Nuestro sistema musical se basa en utilizar doce notas (siete principales y cinco más intercaladas) para definir lo que se denomina la escala cromática. Al espacio que queda entre dos de esas notas lo denominamos semitono. Sin embargo, la escala más utilizada en la música de gaita es la escala diatónica, donde todas las notas, excepto dos, están separadas de las contiguas por dos semitonos (es decir, un tono). Sistemas como la música árabe, utilizan intervalos más pequeños (de cuarto de tono), en otros, por el contrario, no se utilizan distancias menores que el tono y resultan escalas de cinco notas, llamadas escalas pentatónicas (propias de la música andina, china o de algunas melodías esparcidas por los folklores europeos, por ejemplo).


        Ahora bien, ¿cómo se escogen las frecuencias de las notas que forman la escala? Después de todo lo dicho en el apartado anterior parece lógico pensar que sería muy útil construir una escala cromática en la que todas las notas formasen entre sí intervalos como los descritos antes (en lo que resta del trabajo nos referiremos a ella como escala en entonación natural para distinguirla de otras escalas de las que también hablaremos). Esta escala tendría varias propiedades interesantes.

Figura 5

Figura 5
El primer paso en la construcción de una escala de entonación natural. Escogemos como nota base un Do de frecuencia 523.25 Hz, que es la frecuencia a la que vienen ajustados los afinadores cuando el patrón es 440 Hz. El resto de las frecuencias se han calculado a partir de las relaciones que se discuten en le texto. En (a) se representan las frecuencias y los intervalos que forman las notas con la nota de referencia. En (b) se representan las relaciones que existen entre las notas. Todas ellas son intervalos de entonación justa. La letra m tras algunos intervalos indica que son menores. Los que no llevan ninguna indicación son mayores o justos.

        En primer lugar, los instrumentos que utilicen esta escala, podrían formar acordes perfectamente afinados. En el caso de la gaita, esto sería interesante aun en el caso de tocar sola porque los acordes se formarían entre el punteiro y los roncos.
        En segundo lugar, en la mayoría de los casos, el sonido rebota en los objetos que nos rodean y lo oímos varias veces, durante un cierto espacio de tiempo (los físicos llaman a este fenómeno reverberación o, si el rebote se produce sobre objetos lejanos, eco). Por este motivo estamos oyendo a la vez la nota que está emitiendo el músico en un instante determinado y una o varias notas emitidas inmediatamente antes que esa. También interesa que el efecto sea lo más afinado posible. Cuando ensayamos en una sala con mucho eco (en nuestro caso es lo habitual), las gaitas suenan peor precisamente porque los sonidos están "vivos" más rato y estamos oyendo muchas notas simultáneamente. Algunas de ellas no forman entre sí intervalos consonantes y, en conjunto, el sonido es más agrio, más desafinado de lo que resulta ser en realidad [3].
        En lo que sigue, vamos a ver cómo se construye una escala cromática utilizando intervalos naturales. Por supuesto, no lo haremos en abstracto, sino pensando en la música que forma el repertorio de los gaiteiros actualmente. Esto nos va a revelar una serie de problemas y, al mismo tiempo, nos va a servir para comprender por qué se ha creado la escala en entonación temperada y cuáles son sus diferencias con la escala en entonación natural.
        Para construir una escala con estos intervalos estableceremos una nota base sobre la que calcular el resto de las frecuencias. Utilizaremos la frecuencia por la que se afinan los punteiros de Do (523,25 Hz). Todas las notas que nombraremos son notas reales (ojo los que estén acostumbrados a leer en Re). Las frecuencias se calculan multiplicando la frecuencia de referencia por el valor que figura en la columna "Relación" de la Tabla 1. Por ejemplo, la frecuencia del La se calcula como (523.25 x 5) / 4

Figura 6

Figura 6
Segunda fase en la construcción de una escala. El Si (a) se coloca a distancia de quinta justa del Mi o de la tercera mayor del Sol. Al mismo tiempo queda fijado el Si grave formando octava con el Si agudo. El Re puede definirse de dos maneras: a distancia de cuarta justa de Sol (b), lo que da lugar a las relaciones entre notas que señala el gráfico. Nótese que no hay un intervalo de tercera menor natural entre este Re y el Fa. La segunda alternativa es definir el Re a distancia de quinta justa de La (c). Este nuevo Re forma una tercera menor con Fa pero no forma ningún intervalo de interés con el Si grave. Se puede solucionar este inconveniente definiendo un Si grave de frecuencia más baja, sin embargo esta nueva nota no forma octava con el Si agudo.

        El primer sonido será el que está a distancia de octava y que marca el límite superior de esta escala. A continuación colocaremos los sonidos que estén a distancia de quinta justa, cuarta justa, sexta mayor y tercera mayor, que son los intervalos que suenan mejor. Al mismo tiempo, los intervalos que se forman entre estas nuevas notas también corresponden a la entonación natural, igual que los que se forman con la tónica (ver Figura 5).
        Tenemos cinco de las siete notas necesarias para formar la escala diatónica. En la Figura 6 se muestran los pasos que hay que dar para fijar las dos que faltan. En la gráfica a, se esquematiza la fijación del Si. Se puede colocar a distancia de quinta justa del Mi y de tercera mayor del Sol, con una frecuencia de 981.09 Hz. Ambos son intervalos interesantes a la hora de tocar, especialmente el de tercera puesto que en muchas melodías es la distancia que separa a las dos voces. Al mismo tiempo queda fijada la frecuencia del Si grave que está una octava por debajo, que corresponde a la nota más grave del punteiro de Do.
        La colocación del Re es conflictiva. Hay dos maneras diferentes de escoger su frecuencia. En primer lugar se puede tomar como referencia el Sol y colocar el Re a distancia de cuarta justa (frecuencia de 588.65 Hz), como se ve en la Figura 6.b. Esta nota mantiene relaciones de tercera y sexta mayores con los dos Si que hemos definido antes, pero no produce un intervalo de tercera menor natural con Fa, que sería interesante para tocar por terceras. Una segunda alternativa sería colocar el Re a distancia de tercera menor del Fa (frecuencia de 581.39 Hz) con lo que obtendríamos además un intervalo de quinta mayor con La (gráfica b). El problema ahora es que el Re no afina con los Si. En otras palabras, no es posible tener un intervalo natural simultáneamente entre Re y Fa, y entre Si y Re. Si uno afina, desafina el otro. Tocando por terceras ambos intervalos son importantes, una posible solución sería bajar la frecuencia del Si grave hasta hacerle formar una tercera mayor con el Re de frecuencia 581.39 Hz, tal como se muestra en la figura inferior. El precio que habría que pagar sería que no tendríamos una octava entre los dos Si de la escala. A la hora de tocar no sería un gran problema porque un acorde semejante es raro. Habría que experimentar con la posibilidad de bajar el Si agudo utilizando una digitación adecuada en el momento que se necesite en vez de construir un punteiro afinado de esta manera. En el Si grave no tenemos esta posibilidad. En conclusión, las frecuencias más interesantes para el Si y el Re serían 484.49 y 581.39 Hz, respectivamente.

Figura 7

Figura 7
Situación de los semitonos para construir una escala cromática. En la gráfica (a) se sitúan Reb, Mib y Sib. Todos ellos forman intervalos justos con algunas de las notas definidas anteriormente y su colocación no ofrece problemas. En la gráfica (b) se esquematizan las dos alternativas para el Lab. La nota 837.20 Hz es la mejor puesto que los intervalos justos que establece la otra nota (817.58 Hz) no se suelen utilizar en la música de gaita. En la gráfica (c) se señalan las posibles frecuencias de Solb. No es una nota muy utilizada.

        Siguiendo la misma técnica de buscar intervalos interesantes podemos intentar calcular la frecuencia de las notas que nos faltan para conseguir una escala cromática completa. En la Figura 7 se esquematiza el proceso. En la gráfica a se muestra la colocación de Reb, Mib y Sib. Ninguno de ellos presenta problema porque pueden colocarse a distancia de tercera de alguna de las notas básicas definidas al principio. Además aparecen algunas relaciones interesantes entre ellas, como se ve en el dibujo. El Reb es una nota que no se utiliza mas que en contadas ocasiones, pero las otras dos son de uso obligado en melodías y pasajes en modo menor.
        En la gráfica b se esquematiza la definición del Lab. También habría dos posibilidades, pero la nota más grave (frecuencia de 817.58 Hz) se puede descartar, porque los intervalos naturales que se obtienen nunca aparecen en las melodías. Los dúos por terceras corresponden a los intervalos que forma la otra opción (837.20 Hz), la preferida.
        Por último, en la gráfica c se muestra la colocación del Solb. Esta nota se emplea raras veces. Se puede colocar a distancia de tercera menor de La, lo que la colocaría también a distancia de tercera mayor de Re (el Re de 581.39 Hz).


        En las tres primeras columnas de la Tabla 2 se resumen las características de todas las notas que acabamos de definir: la relación de frecuencias con la nota base, su frecuencia y la distancia en cents (ver el apéndice) hasta la nota base. En la parte inferior de esa tabla también se listan las características de las notas alternativas que hemos considerado menos interesantes.
        Este sistema de afinación iría bien para tocar entre dos gaitas afinadas en el mismo tono, como es habitual en los grupos de gaiteiros más comunes. El sistema deja de funcionar tan bien cuando pretendemos hacer tocar instrumentos de varias tonalidades juntos, como una gaita en Do con otra en Sol, o una gaita con una requinta. Habría que escoger las notas más graves que aportan estos instrumentos para que formaran intervalo de octava con las del punteiro. Aparecen nuevos problemas de afinación porque el Sol (la tónica del punteiro más grave) no forma intervalos naturales con el Si y el Re (del punteiro de Do) elegidos por los criterios expuestos más arriba. En este caso se hacen más ventajosas las versiones agudas de esas dos notas, pero, inevitablemente, hay que renunciar a la tercera Si-Re.

La escala temperada y sus diferencias con la entonación natural

        En este apartado discutiremos las diferencias entre la escala en entonación natural y la escala que más se utiliza actualmente, la escala en entonación temperada. También discutiremos las ventajas y problemas que tienen cada una de ellas. Para ayudar a ver los argumentos que vamos a exponer hemos preparado la Figura 8. Hemos representado las escalas en forma de escaleras con los peldaños separados entre sí igual que las notas en la escala (nos referimos a su distancia en cents).

Figura 8

Figura 8
Estas escaleras representan a los tipos de escala que se comentan en el texto. Cada peldaño representa la situación de una nota de la escala. La distancia que separa los peldaños es proporcional a la distancia en cents entre notas. A la izquierda (a) se representan dos escalas cromáticas en entonación natural, una construida tomando como nota base el Do y en la otra, el Re. Se observa que la distancia entre peldaños (notas) en la escala natural no es siempre la misma. También se observa que varias de las notas equivalentes en las dos escalas no están a la misma altura, es decir, tienen frecuencias diferentes. En la gráfica (b), las escalas representadas son temperadas. Ahora coinciden tanto las distancias entre notas como las notas de las escalas construidas sobre notas distintas. En (c) se comparan las dos escalas para poder apreciar claramente las diferencias que hay en la distribución de las notas.

        En la gráfica a están representadas dos escalas cromáticas en entonación natural. Hay un peldaño en la escalera por cada semitono de la escala. Como se aprecia inmediatamente, las distancias entre peldaños son irregulares. La escalera más a la izquierda representa a una escala construida sobre la nota Do, como en el apartado anterior. La escala que está al lado ha sido construida sobre la nota Re, por eso su primer peldaño coincide a la misma altura con el tercero de la de Do. Comparándolas se nos aparece claramente un problema de este tipo de escala: los peldaños equivalentes en ambas escaleras no coinciden a la misma altura en varios casos. Por ejemplo, el tercer peldaño de la escalera de la derecha debería coincidir con el quinto peldaño de la de la izquierda y sin embargo está colocado entre el cuarto y el quinto. Traducido a notas, esto quiere decir que el Mi de la escala de Re no sería el mismo que el de la escala de Do. Hay más casos que se ven al comparar ambas escaleras. Este comportamiento sería una dificultad enorme para construir un piano, por ejemplo, que fuese capaz de tocar en todas las tonalidades, es decir, en escalas construidas sobre diferentes notas. Necesitaríamos más de una tecla para cada nota para usar la que más conviniese según la tonalidad que estuviésemos empleando. Sería muy complicado construir un instrumento semejante.
        Este problema es el que ha llevado a la invención de la escala en entonación temperada. La solución sería tener una escala con todas las notas separadas por la misma distancia en cents [4]. En esto consiste la escala temperada. Las escaleras de la Figura 8.b simbolizan dos escalas cromáticas temperadas, una que comienza en Do y la otra en Re. Los peldaños de la escala de Do coinciden a la misma altura que los de la escala de Re. Las notas tienen idénticas frecuencias en las dos escalas. Ocurriría lo mismo fuese cual fuese la nota en la que empezase cada una, las notas coincidirían siempre. Como el piano utiliza una escala temperada le basta con tener doce notas por octava para poder interpretar melodías en cualquier tonalidad.
        En la Figura 8.c se compara una escalera "temperada" con una escalera "natural", para que se vean bien claras las diferencias. Además, la Tabla 2 recoge los datos de frecuencia de ambos tipos de escala. También se recogen los intervalos en cents entre el Do y el resto de las notas. Los intervalos expresados en cents son independientes de la frecuencia que se haya usado para calcular las notas de la escala. En el Apéndice se explica la forma de cálculo para los cents y su origen. La última columna de la tabla sirve para comparar ambas escalas. Se ha calculado la distancia en cents desde cada nota de la escala temperada hasta su equivalente de la escala de entonación natural.
        La escala temperada tiene ventajas, pero a un precio. Los intervalos que se forman en ella están desafinados. Cuando suenan los intervalos temperados se producen frecuencias de batido. El de octava no, por supuesto, pero en muchos otros, sí. La quinta y cuartas en entonación temperada son casi idénticas a la quinta en entonación natural (ver Tabla 2). El problema principal es que las terceras temperadas están bastante peor afinadas que las quintas, lo cual es un inconveniente para gente como nosotros que tocamos muchísimo por terceras. El que la escala que utilizamos habitualmente sea una escala desafinada puede sonar bastante raro, pero es la realidad. Es una desafinación controlada y a la que estamos tan acostumbrados por nuestra educación musical que no somos conscientes de ella.
        Hay bastantes diferencias entre ambas entonaciones. La nota que más distancia mantiene es el Si grave, esa nota anómala que hemos propuesto para mejorar la afinación. Ahora bien, las gaitas que utilizamos hoy en día, ¿cómo están afinadas?

La escala de las gaitas actuales

        Para hacernos una idea de cómo es la afinación promedio en las gaitas hemos realizado una medición de las frecuencias de todas las notas de doce punteiros de diferentes constructores y tonalidades. Vaya por delante el decir que la realización de unas medidas de este tipo tiene una serie de dificultades. Grabamos el sonido de los punteiros (tocándolos sin ronco) y luego calculamos la frecuencia de cada fundamental a través de un programa de ordenador que nos permite descomponer los sonidos en los armónicos que los componen.
        Los resultados obtenidos se deben tomar como un simple tanteo inicial, una primera prueba para saber por donde anda la cosa, nada más. La hicimos con los punteiros que pudimos reunir entre nosotros tres. La afinación de cada punteiro es insegura, algunos de ellos llevaban cierto tiempo sin tocar y se empalletaron para la prueba, lo que puede dar como resultado afinaciones alteradas. Teniendo esto en cuenta, presentamos los datos en la Tabla 3 (sólo con afán de ilustrar un poco la discusión). En ella se indican los intervalos en cents desde la tónica del punteiro (como si todos los punteiros fuesen de Do). Los datos de la última columna son la media de los resultados de los doce punteiros. El utilizar el valor medio nos ayuda a eliminar las variaciones individuales de cada punteiro y obtener un valor de afinación más fiable. En las columnas centrales se representan los valores de las dos afinaciones de referencia. Como curiosidad, comentar que uno de los punteiros utilizados tiene una afinación que coincide en casi todas sus notas con la entonación natural teórica.
        El análisis de los datos de la experiencia nos indica lo siguiente. Las notas agudas incluyendo el Do agudo parecen estar demasiado altas. Al grabar sin ronco es muy posible que se haya aumentado la presión del fol inconscientemente al llegar a esa zona del punteiro y las frecuencias resultantes sean altas artificialmente. Si le restamos los 12 cents que le sobran al Do agudo a las tres notas inferiores nos quedamos con afinaciones muy similares a las que marca la afinación temperada. El resto de las notas también se aproximan más a la afinación temperada que a la natural con dos excepciones. El Mib parece estar alto en promedio aunque hay una variación muy grande entre punteiros (posiblemente este valor sea algo ficticio).
        La segunda excepción, y la más importante, es el Mi. Esta nota está claramente afinada según un intervalo natural. La media coincide exactamente con el valor teórico y ninguno de los punteiros se acerca al valor de la entonación temperada.
        Hoy en día parece clara la influencia de la escala temperada en la construcción de nuestros instrumentos. Resulta interesante plantearse cómo eran las escalas de los gaiteiros que no recibieron la ayuda de los afinadores electrónicos y se guiaban por el ronco, el mejor afinador del que disponían. Es un estudio que quizás empecemos pronto. Pero en el caso de las gaitas, utilizar la escala temperada tal cual tiene problemas más graves que los habituales en el caso de otros instrumentos como el piano o el clarinete. Las gaitas tienen los bordones, que están continuamente produciendo la tónica del punteiro. Lo normal será que se produzcan frecuencias de batido si las notas del punteiro no están afinadas según entonación temperada. El problema se agudiza porque el sonido del ronco está dos octavas por debajo de la del punteiro. La frecuencia de batido entre notas tan alejadas entre sí es más exagerada que si ambas notas perteneciesen la misma octava. Muchas de las pausas de las melodías se realizan sobre las tres notas que componen el acorde mayor de la tónica, es decir el primero, tercer y quinto grados de la escala. Por este motivo la mayoría de las notas largas de las melodías son alguna de estas tres. Con la quinta y la cuarta no hay problema puesto que casi coinciden en escalas naturales y temperadas. La tercera mayor temperada provocará desafinación con los roncos en esas situaciones y, por ser largas estas notas, se notará mucho. El efecto es menos evidente en las otras notas que suelen ser notas más cortas por ser de paso. Por esto, en una gaita, el tercer grado de la escala tiene que afinarse según la entonación natural y no temperada, si no la desafinación es bastante escandalosa. Puede comprobarse todo esto de una forma muy sencilla. A base de fixo puede llevarse el Mi de un punteiro de Do (o la nota equivalente en cualquier otro punteiro) hasta la afinación que exige el afinador (es afinación temperada). Cuando hayamos convertido la afinación en temperada podremos comprobar cómo nuestro nuevo Mi desafina con el ronco.

Conclusión: Una propuesta de afinación en entonación natural para la gaita

        La escala en entonación natural que proponemos en este trabajo sería perfectamente aplicable a la gaita. Representaría conseguir una afinación más pura, más dulce. Extender los beneficios que obtenemos para el tercer grado de la escala a los demás. Se pagaría el precio de que una escala de este tipo no es tan versátil tonalmente como la escala temperada, pero este es un precio barato. Los gaiteiros tradicionales no tocamos más que en una tonalidad en sus modos mayor y menor. Algunas melodías están en modo mayor con el séptimo grado alterado descendentemente. Cualquiera de estas variaciones se puede realizar en entonación natural. Afortunadamente, los gaiteiros no tenemos que tocar melodías en Fa# menor con un punteiro en Do ni cosas por el estilo, por lo que la pérdida de la capacidad que tienen los instrumentos temperados de pasar de unas tonalidades a otras a nosotros no nos afecta mucho.
        Lógicamente, cualquier persona que lea estas líneas se preguntará si valdrá la pena pasarse a una escala como ésta teniendo en cuenta que, actualmente, las gaitas suenan bastante bien tal como están. La única respuesta válida sería la que cada uno obtuviese probando a utilizar esta escala y, una vez acostumbrado nuestro oído a ella, ver si somos capaces de volver a utilizar la escala vieja tan a gusto como antes. Cuando éramos novatos, a ninguno nos molestaba demasiado que el ronco estuviese desafinado, pero hoy en día no somos capaces de tocar así. Esto no es más que un problema de educación del oído, ni más ni menos, y el de la utilización de una u otra entonación, también lo es.
        La cuestión principal es que hemos expuesto la teoría y los principios sobre los que se basa la construcción de escalas y hemos dado respuesta a la cuestión que nos hizo empezar este trabajo. Esperamos que esto sirva para aumentar el conocimiento de las particularidades de nuestro instrumento y ayude a cada uno a tomar decisiones bien fundadas acerca de la afinación más conveniente para él. Hay gente que no podrá escapar de la afinación temperada puesto que tiene que tocar junto a otros instrumentos, pero los gaiteiros que van a tocar por parejas (o en bandas) tendrán la libertad de buscar esta afinación si la encuentran más interesante.

Bibliografía

Apéndice: Hertzios y Cents

        A lo largo de todo el texto hemos utilizado las frecuencias para definir los sonidos. Sin embargo, los intervalos los caracterizamos por la relación entre las frecuencias de los dos sonidos que lo forman. Dividiendo una frecuencia por la otra tenemos una idea de la distancia que separa a ambos sonidos. Mientras esa distancia se mantenga nosotros reconoceremos siempre el intervalo. Es curioso darse cuenta de que a medida que los sonidos se hacen más agudos la distancia en hertzios que representa cada intervalo se va haciendo cada vez mayor. El La patrón tiene una frecuencia de 440 Hz, su octava, 880 Hz, y la octava de éste, 1760 Hz. Los intervalos medidos en hertzios van duplicando su anchura, a pesar de que nosotros seguimos reconociendo a todos esos intervalos como octavas. Esta es la razón por la que se utilizan relaciones entre frecuencias y no frecuencias absolutas para identificar los intervalos.
        La medida de anchura de intervalo que más se utiliza es el cent. La base de esta medida es también la división de la frecuencia de una nota por la de la otra, pero se realizan una serie de correcciones matemáticas para conseguir dividir cada semitono temperado en cien partes y que esta división sea igual sin importar cuáles son las frecuencias reales. Cada una de esas partes se denomina cent y la octava queda dividida en 1200 cents. Un oído bien educado puede percibir diferencias de alrededor de tres cents, por lo que los cents son unidades lo suficientemente pequeñas.
        La fórmula para calcular la distancia en cents entre dos notas conociendo su frecuencia es:

Fórmula para calcular valores en cents

f1 y f2 son las frecuencias de las notas.

        Los afinadores electrónicos marcan la diferencia entre el patrón y la nota de nuestro instrumento en cents. Si queremos utilizar uno de estos aparatos para afinar una gaita según la entonación natural, lo único que tenemos que hacer es conocer la distancia que separa a las notas naturales de las temperadas. Para estas últimas notas la indicación del afinador es cero, las notas naturales estarán por encima o debajo de cero. En la tabla se indican esas distancias.
        También se indican las distancias para un punteiro de Sol que interese afinar para tocar con un punteiro de Do afinado según la entonación natural.

Tablas

Tabla 1. Relaciones entre los armónicos de dos notas que forman entre sí diversos intervalos en entonación natural (J = justa; M = mayor; m = menor). Se ha tomado como base una nota cuya frecuencia fundamental es 100 Hz. En la primera columna se indican los nombres de los intervalos, en la segunda, la relación de frecuencias entre las notas necesaria para formar el intervalo de entonación natural en la tercera, la frecuencia fundamental de la nota más aguda. La nota grave con la que se forma acorde en todos los casos es la de la primera fila. Se indican las frecuencias de los armónicos de cada nota hasta una frecuencia máxima de 1000 Hz. Aquellos armónicos que coinciden entre las dos notas se escriben en negrita para diferenciarlos de los demás.

Tabla 1

Tabla 2. Escalas en entonación natural y en entonación temperada. Se indican las frecuencias de cada nota y el intervalo en cents entre ella y la nota base (Rel. Frq. = frecuencia(nota) / frecuencia(Do). Las notas más agudas están al principio de la tabla. Para cada intervalo en entonación natural se incluye la relación de frecuencias frente a la nota base. En la última columna se indica la diferencia en cents entre la nota en entonación natural y la temperada (el signo + indica una nota más aguda que la temperada correspondiente y el -, más grave). Esta columna es útil para afinar un punteiro en entonación natural utilizando un afinador calibrado para escalas temperadas. La diferencia en cents se mantiene sea cual sea la nota base que utilicemos, es decir, vale para punteiros de cualquier tonalidad. La tabla incluye también las notas inferiores que daría un punteiro o una requinta en Sol. En este caso, la relación de frecuencias se calcula al revés que en las filas superiores, es decir: Rel. Frq. = frecuencia(Do) / frecuencia(nota). El último grupo de notas son las notas alternativas comentadas en el texto pero consideradas poco ventajosas (sólo las del punteiro de Do).

Tabla 2

Tabla 3. Afinación media de doce punteiros de diferentes tonos y artesanos. Las notas se indican como si fuesen de un punteiro en Do a pesar de que son de tonalidades diferentes. Hemos medido los intervalos en cents frente a la tónica de cada punteiro, lo que nos permite compararlos entre sí.

Tabla 3

Historial de este trabajo

        En agosto de 2002 Presencias encontró este material en la web de José J. Presedo. Nos interesó mucho y comenzamos a producirlo. Se trabajó la forma, la gráfica, las notas al pie y los modos de presentación. Sobre mediados de octubre de 2002 dimos por concluida la etapa de edición. Entendemos que el documento original se generó sobre fines de 1999 y comienzos de 2000. El archivo inicial tenía las siguientes dos entradas:

Agradecimientos

        Los autores queremos agradecer a José J. Presedo su interés por este trabajo y la oportunidad que nos ha dado de incluirlo en su página Web para que los gaiteiros que estén interesados en él puedan consultarlo. Él ha sido también el que le ha dado los retoques de formato necesarios para su publicación "internética" pero, por supuesto, las erratas, fallos de todo tipo y omisiones varias siguen siendo responsabilidad exclusiva de los autores.

Contra-Agradecimientos

        José J. Presedo quiere agradecer a Carlos Real, Jesús Vaamonde y Manuel Fernández su amabilidad al ceder su trabajo cuya indudable calidad y meticulosidad, sin duda, enriquece y honra este humilde espacio de la Red. Como gaitero no puedo por menos que felicitarlos por esta inestimable herramienta que nos ayudará a todos a entender un poco más nuestro instrumento.

NOTAS
3. Se puede hacer la prueba de colocarse unos tapones en los oídos mientras se toca. La intensidad general del sonido se reduce y, como los sonidos rebotados son mucho más débiles que los que llegan directamente de la gaita, la reverberación será casi suprimida. Las gaitas sonarán ahora más afinadas porque lo que se oye ahora son las notas actuales, casi sin restos de notas anteriores.
4. Cuando hablamos de frecuencias esto significa que cada nota de la escala cromática tiene una frecuencia que es igual a la de la nota anterior multiplicada por una constante, 1.05946. Este número corresponde a:

			12 ---
			\/  2
Con esta relación se pueden calcular las frecuencias de todas las notas de una escala temperada como hemos hecho nosotros en la Tabla 2.