UNIVERSO PITAGÓRICO
GRANDES ESCUELAS
ANDREA MORALES - CLAUDIO SALPETER
REVISTA AXIOMA Nro 1, Mayo/Junio 1996, [1]
ORIGINAL, UNA PRODUCCIÓN Presencias.net, 2001-2006


Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene noticia, sólo estaban orientados por puntos de vista puramente prácticos. Pueblos como los babilonios, los egipcios o los hindúes ya conocían unos cuantos resultados aritméticos y geométricos, pero su teoría se caracterizaba por el tanteo y la inducción, despreocupándose por su validez general. A partir del siglo VI a.C. aparece en escena una nueva cultura que cambiaría el rumbo de las matemáticas: la cultura griega, uno de cuyos máximos exponentes fue la Escuela Pitagórica

Orígenes del mundo griego

Las primeras grandes civilizaciones en suelo europeo las encontramos en la costa oriental del mar Mediterráneo. A mediados del segundo milenio a.C. florece una cultura extendida en la Grecia continental y en las islas del mar Egeo, en especial en la isla de Creta. Se trata del período micénico en la península y el minoico en Creta, en el suntuoso palacio real de Cnossos (2000 a.C.), cuyo lenguaje (llamado Lineal A), con excepción del sistema de numeración, aún no ha sido descifrado.
        Estas culturas fueron invadidas por los eolios, jonios y aqueos (protagonistas estos últimos de las famosas guerras de Troya, hacia el 1200 a.C.), y más tarde por los dorios.


        Luego, y durante cerca de medio milenio, la historia enmudece respecto de los pueblos egeos.

Típica representación de alguien llamado Pitágoras. Digitalizado por Presencias

        Mientras tanto los fenicios establecen en las costas del Mediterráneo un activo intercambio comercial, fundando allí numerosas colonias, e introduciendo, además, el alfabeto.
        El mundo griego abarcaba entonces la región comprendida entre los mares Egeo y Jónico, y las colonias establecidas en las costas de los mares Negro y Mediterráneo. Y fue precisamente en las ciudades que se encontraban fuera del Peloponeso donde surgiría la matemática griega.

Pitágoras de Samos

        En el siglo VI a.C. un comerciante griego nacido en Mileto, llamado Tales, comenzaría a transformar la matemática en la ciencia deductiva que hoy conocemos. En sus viajes a las tierras del Nilo, Tales entra en contacto con el saber egipcio, y luego regresa a su tierra natal para convertirse en uno de los siete sabios de Grecia.
        Se cree que entre sus discípulos se hallaba un personaje semilegendario, uno de los más importantes hombres de ciencia de la Grecia antigua; aquél que dio nombre al teorema más famoso, quizá, de toda la matemática: Pitágoras.
        Es poco lo que se conoce de este maestro griego. Se sabe que en la Antigüedad se escribieron unas cuantas biografías, pero todas ellas se han perdido. No existe ninguna obra escrita por él; la información que se tiene está basada en una tradición que ha persistido a través de los años.
        Nació alrededor del año 569 a.C. en la isla de Samos, colonia jónica de griegos en las costas del mar Egeo. Ésta era una potencia comercial en creciente progreso. Por aquel entonces, Polícrates, su dictador, había destruido el poder de la aristocracia terrateniente y gobernaba la isla con el apoyo de los comerciantes.
        Es probable que Pitágoras haya realizado viajes a Egipto, Babilonia y la India, donde habría entrado en contacto con los saberes matemáticos y religiosos de aquellos lugares. Es destacable el hecho de que fuera contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-Tsé.


        Al regresar luego a Samos y encontrarla dominada por los persas, decide emigrar al sur de Italia, la llamada Magna Grecia. Se establece, entonces, en la ciudad de Crotona, la "ciudad esotérica", una de las más florecientes colonias griegas.
        Allí comienza a disertar sobre filosofía y matemática. A su cátedra acuden entusiastas de todas las clases, incluso lo hacen las mujeres, quienes tenían prohibido, por ley, asistir a reuniones públicas. Entre estas mujeres se encontraba Theano, la joven y hermosa hija de su posadero Milo, con la cual se casó. Theano escribió más tarde una biografía de su esposo que desgraciadamente se ha perdido.

La Escuela Pitagórica

        La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se los conoció como la Escuela Pitagórica.
        La comunidad pitagórica fue una hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las matemáticas. Los miembros de esta fraternidad se comprometían, con un solemne juramento, a mantener en secreto las enseñanzas de la Escuela. Éstos debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la inmortalidad del alma y en su trasmigración, con el resultado de que no debería ser sacrificado ningún animal ante el temor de que pudiera ser la nueva morada del alma de un amigo muerto. Así, a sus miembros se les imponía un severo régimen vegetariano.
        La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las siguientes palabras: "los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas."
        Todos los descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras, por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado por sus alumnos.
        Los pitagóricos fueron los primeros en establecer la demostración en la matemática, mediante el razonamiento deductivo. A ellos se les debe, incluso, la misma palabra Matemática que, según la acepción más difundida, significa "ciencia por excelencia"; matemáticos eran los miembros científicos de la secta. Se clasificó a la Matemática, además, en cuatro ramas: aritmética, geometría, música y astronomía, clasificación que se mantuvo durante más de dos milenios en lo que constituyó el famoso Quadrivium de las ciencias.
        A causa del poder político que adquirió, contraria a las ideas democráticas de la época, la Escuela Pitagórica fue objeto de sospechas por todos los que no formaban parte de ella. En el año 501 a.C. se produce una revuelta popular e incendian la casa de Milo, que por aquel entonces ocupaba la hermandad. Perece allí, un gran número de sus miembros más notables. Pitágoras hubo de refugiarse en Tarento y después en Metaponto, donde un año después fue asesinado en otra conmoción popular. A pesar de la muerte de Pitágoras y de la destrucción de su Escuela en Crotona, sus discípulos se reorganizaron en Tarento, formando una nueva escuela que continuó durante 100 años.
        Entre los principales sucesores de Pitágoras se encontraban Hipaso, Filolao y Arquitas.
        Más tarde, cuando los miembros de la sociedad se dispersaron, la regla del silencio cayó en desuso y se divulgaron sus doctrinas. El primer libro lo escribió Filolao en el 370 a.C.. Sin embargo, la gloria de todos los descubrimientos que se realizaban seguía siendo patrimonio de su fundador.

La estrella pentagonal

        El símbolo distintivo de la hermandad fue la estrella pentagonal, que ellos llamaban pentagrama. Este emblema es la figura que resulta al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular.
        El pentágono estrellado ya había aparecido con anterioridad en el arte babilónico.
        Una propiedad importante del pentagrama es relatada por Carl Boyer en su "Historia de la Matemática": "Si comenzamos por un pentágono regular ABCDE y trazamos las cinco diagonales, éstas se cortarán en los puntos A'B'C'D'E' que forman otro pentágono regular. Observando que el triángulo BCD', por ejemplo, es semejante al triángulo isósceles BCE, y teniendo en cuenta también los varios pares de triángulos congruentes que aparecen en la figura, resulta fácil ver que los puntos A'B'C'D'E' sobre las diagonales las dividen de una manera sorprendente. En cada caso, uno de estos puntos divide a una diagonal en dos segmentos distintos y tales que la razón de la diagonal completa al mayor de los dos segmentos es la misma que la de éste al segmento menor. Esta subdivisión de la diagonal es la conocida sección áurea de un segmento."


El "Número"

        Los pitagóricos le adjudicaron especial importancia al número. Esto se refleja en las siguientes palabras de Filolao: "y, en verdad, todas las cosas que se conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida sin éste." El mismo Pitágoras declaraba: "Dios es, en efecto, número.", y por número se refería al número natural común.
        Pero para los pitagóricos, no sólo todas las cosas poseen número, sino que los números son concebidos como cosas; las expresiones: "números cuadrados" o "números triangulares", no son metáforas; esos números son, efectivamente, ante los ojos y ante el espíritu, cuadrados y triángulos.
        El número es definido, desde el punto de vista geométrico, como una suma de puntos representados en el espacio, y las figuras (líneas, superficies o volúmenes), que están constituidas por esos puntos materiales llamados mónadas, también representan números. De esta manera, identificaron al número uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie, y al cuatro con el volumen, de acuerdo con el número mínimo de puntos necesarios para definir cada una de esas dimensiones.
        Según Filolao, el número tiene dos formas propias: el impar y el par. Existía una tercer especie: el par-impar. Esta última denominación, que ha sido aplicada algunas veces a la unidad, designa también los números pares, como el seis y el diez, que a la primer bisección dan números impares.
        Los pitagóricos clasificaron a cada número considerando sus divisores, pero exceptuando al mismo número (es lo que se llamará sus partes alícuotas) y sumándolos. Esta suma será, en general, mayor o menor que el mismo número, que será llamado, en consecuencia, abundante o deficiente. Por ejemplo, 12 es abundante, porque la suma de sus partes alícuotas es: 1+2+3+4+6=16. En cambio el 8 es deficiente, pues 1+2+4=7.
        Pero existen ciertos números en los cuales la suma de sus partes alícuotas dan como resultado el mismo número. Estos números eran llamados perfectos.
Por ejemplo:

6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

        Dice Euclides: "partiendo de la unidad, se forma la progresión geométrica de razón 2, y si la suma de sus términos es un número primo, el producto de este número primo por el último término de la progresión es un número perfecto." Por ejemplo:

1+2+4+8+16=31 y 31 es un número primo. Luego, 31.16=496, que es un número perfecto.

        Ciertos números que también llamaron la atención de los pitagóricos, fueron los números cuadrados. Estos se formaban tomando a la unidad como punto de partida y agregando a ésta la serie ascendente de los números impares. La progresión aritmética que así se forma goza de la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcción en que uno se detenga, la suma de la unidad y de los números impares constituye un número cuadrado. Por ejemplo:

1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16

        Todos los números cuadrados están dados por este proceso de formación. Además, la adición sucesiva de un número impar permite pasar de un cuadrado al cuadrado siguiente (por ejemplo, si a la serie 1+3 le sumo 5, se pasa del cuadrado 4 al cuadrado 9). Así, todo número impar se define como la diferencia de dos superficies cuadradas que tienen respectivamente por lados dos enteros consecutivos. Utilizando el ejemplo anterior: 1+3+5=9 ; luego 9 - 4 = 5. El número impar 5 es la diferencia de dos cuadrados, 9 y 4, que tienen por lados dos enteros consecutivos, 3 y 2. A tal número impar se lo llamó gnomon. Geométricamente hablando el gnomon es un borde rectangular de brazos iguales en forma de L, añadido a un determinado cuadrado para formar el cuadrado siguiente:


        Esta definición geométrica explica la constitución interna del número impar; él es la suma de un cuadrado de lado igual a la unidad y de dos rectángulos iguales cuyo lado menor es también igual a la unidad.
Por ejemplo:

5=1+2+2
7=1+3+3
9=1+4+4

        Los pitagóricos descubrieron también que, a partir de la suma de los números naturales, era posible representar puntos que denotaban la unidad, dispuestos en forma de triángulo. De esta manera, y sumando tales puntos se obtenían los números triangulares, como por ejemplo, el 1, el 3, o el 6:


        También existían los números pentagonales, hexagonales, etc.
        Si, por otra parte, sumamos los números pares consecutivos, obtenemos una serie de números llamados oblongos, en donde cada uno es el doble de un número triangular. Esta serie constituye sumas de progresiones aritméticas que son al mismo tiempo productos de dos factores, y por consiguiente, superficies. Uno de los factores es igual a la mitad del último número par de la progresión. El otro es el primer factor aumentado en uno.
Por ejemplo:

2+4=6      6=2.3
2+4+6=12     12=3.4
2+4+6+8=20   20=4.5

        La superficie tiene pues sus dos lados desiguales, por lo que se llama heterómaca o rectangular.


        Llamaron números amigos a aquellos en donde cada uno era igual a la suma de los divisores del otro.
Por ejemplo:
220 y 284, pues
220=1+2+4+71+142, que son los divisores de 284 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, que son los divisores de 220.

        La palabra número se usaba sólo para los enteros positivos. A las fracciones se las consideraba como una razón o relación entre dos números enteros . Tal como lo expresaba Euclides (Elementos Libro III): "Una razón es una cierta relación con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo."
        No cabe duda que la más famosa realización de los pitagóricos la constituye el llamado Teorema de Pitágoras, sin el cual no es posible concebir la Matemática en el sentido más amplio de la palabra.
        El enunciado del Teorema es conocido por todos: "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."
        Los egipcios ya conocían esta relación en los triángulos de 3, 4 y 5 unidades de longitud. Los hindúes también la conocían para los triángulos de 5, 12 y 13 unidades. Pero fue Pitágoras el primero que enunció y demostró el Teorema para todos los triángulos rectángulos. De acuerdo con un relato, cuando Pitágoras descubrió este admirable resultado, en su alborozo, sacrificó un buey, aunque esto es bastante improbable dadas sus estrictas reglas vegetarianas.
        Los pitagóricos encontraron la formación de ciertas ternas de números que cumplen el teorema:


con m entero impar.

        Pitágoras aprendió en Babilonia tres medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Dados dos números a y c, la media aritmética es un número b tal que:


        Del mismo modo, la media geométrica es un número b tal que:


        Así como la media armónica es un número b tal que:


        Los pitagóricos también conocían la "Proporción Perfecta" o "Divina Proporción", que relaciona dos de las medias: el primero de dos números es a su media aritmética como su media armónica es al segundo de ellos:


La "música" pitagórica

        La contribución de los pitagóricos a la música es sumamente interesante. Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados mediante razones de números enteros, utilizando una especie de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio. Éste poseía un puente móvil que al desplazarse producía, en ciertas posiciones, notas que, comparadas con la emitida por la cuerda entera, resultaban más armoniosas que otras. El más básico de tales intervalos es la octava. En el monocordio es el intervalo entre la nota emitida por la cuerda entera y la emitida por otra de longitud igual a su mitad. Es decir, cuando la cuerda tiene longitud 2 de una determinada nota base, suena una octava más alta que la nota original. Si su longitud es 3/4 de la primitiva, la cuerda emite la cuarta de la nota base, y si su longitud es 2/3 de la inicial, la nota que suena es la quinta de la nota base. Partiendo de una nota base Do se tiene el siguiente esquema:

Do (base) Re Mi Fa (cuarta) Sol (quinta) La Si Do

Elemental representación del monocordio. En la realidad estos sonidos son exactos dentro de la llamada escala natural. [ Producido por Presencias.net ]

        Según el relato de Boecio, un escritor que vivió en el siglo VI de la era cristiana: "Pitágoras, obsesionado por el problema de explicarse matemáticamente los intervalos fijos de la escala, al pasar frente a una herrería, le llamó la atención la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Entró y observó largamente. Luego, al experimentar, utilizó cinco martillos. El peso de cuatro de ellos estaba en la proporción de 12, 9, 8 y 6. El quinto, cuyo peso no correspondía a relación numérica alguna con el resto, era el que echaba a perder la perfección del repiqueteo. Fue retirado, y Pitágoras volvió a escuchar. El mayor de los martillos, cuyo peso era doble del más pequeño, daba la octava más baja. Como los pesos de los otros dos martillos (9 y 8) correspondían a las medias aritmética y armónica respectivamente de los primeros pesos (12 y 6), pensó que aquellos dos martillos le darían las otras notas fijas de la escala."

Cosmología

        La cosmología de los pitagóricos es muy curiosa e importante. Describía el Universo en términos numéricos.
        Así, "las matemáticas -según explica Farrington- contribuían a mantener el alma de los adeptos libre de contactos con lo terreno y material, y se adaptaban al temperamento cambiante de un pueblo en el que el desprecio por el trabajo manual se hermanaba con el incremento de la esclavitud."
        Los pitagóricos definieron, aunque no probaron, que los cuerpos celestes eran esferas perfectas, que describían órbitas perfectamente circulares, teniendo aquí la palabra perfecto, significación moral y matemática.
        Según Aristóteles, los pitagóricos creían que todo el cielo era una escala musical y un número, y que los movimientos de los cuerpos celestes originaban sonidos acordes, aunque inaudibles; la razón por la cual no los oímos, de acuerdo con una versión, reside en que estamos habituados a ellos desde nuestro nacimiento.
        Según Filolao, el centro del Universo es una masa invisible de fuego y la Tierra gira en torno a él, así como los demás cuerpos celestes, el Sol y la Luna. Pero introduce un segundo cuerpo invisible, la Anti-Tierra, que gira alrededor del fuego central, interior y opuesto a la Tierra. Observando desde el centro hacia el exterior se tendría: el fuego central, luego la Anti-Tierra, a continuación la Tierra y exteriormente a ésta, la Luna, el Sol y los planetas.
        De acuerdo con Aristóteles la Anti-Tierra es un artilugio que los pitagóricos utilizaron para hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos matemáticos y opiniones. Como sostenían que el número diez era sagrado y los cuerpos que se mueven en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas fijas, considerada como uno; dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres planetas superiores: Marte, Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para satisfacer esa condición, inventaron un décimo, la Anti-Tierra.
        La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más importante del Universo.

Misticismo numérico

        Los pitagóricos dieron a ciertos números significados que podrían parecer, quizás, caprichosos. Al número uno se lo identificó con la razón y se lo consideraba como el origen de todos los números. El dos con la opinión, y es el primer número par o hembra. El tres es el primer número macho o el número de la armonía. El cuatro con la justicia, inmutable y equitativo. El cinco sugería el matrimonio, la unión del primer número par con el primer número impar auténtico. El seis es el número de la creación. A la diosa virgen Atenea se le atribuyó el número siete, porque el siete es el único de la década que no tiene ni factores ni productos.
        El número diez, tetractys sagrado, fue un símbolo muy venerado por la hermandad. La virtud de este número reside en que, estando constituido por la suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4, encierra la naturaleza de las diversas especies de números: la de los pares, de los cuales el primero es el dos; la de los impares, de los cuales el primero es el tres; la del par-impar, que es aquí la unidad; la de los cuadrados perfectos, de los cuales el primero es el cuatro. En boca de Filolao, el número diez "es la norma del Universo, la potencia ordenadora de los hombres y de los dioses."

Descubrimiento de los irracionales

        Los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo, captándolo mediante números enteros. Así podían sentir que se hallaban en los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales.
        El concepto que tenían los helenos de este descubrimiento es ilustrado en el libro décimo de los Elementos de Euclides: "Se dice que el hombre que por primera vez llevó a la luz, desde la oscuridad, el estudio de los números irracionales, pereció en un naufragio. Y esto ocurrió porque lo inexpresable y lo inimaginable debió haber quedado en el misterio. Por esta razón, también aquellos que divulgaron y tocaron esta imagen de lo viviente fueron instantáneamente destruidos y relegados al mismo lugar del surgimiento, donde permanecen apresados para siempre por las olas eternas."
        El problema radicó en el hallazgo de magnitudes que no podían ser expresadas en términos de otras, a las que llamaron inconmensurables, es decir, imposibles de medir.
        Este descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, que hoy en día representan los irracionales, tuvo trágico lugar en el triángulo rectángulo isósceles. Por ejemplo, en el de catetos iguales a 1, el cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 2, ya que , y el valor, entonces de dicha hipotenusa es igual, en el modo actual de escritura a . Pero, por más que se busque todo lo que se quiera, no existe número entero ni fraccionario que multiplicado por sí mismo, reproduzca exactamente el número 2. El número es inexpresable. Sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, es decir, la diagonal de un cuadrado, se presenta de un modo tan neto, tan determinado y tan evidente, que no es posible distinguirla de ningún otro segmento de recta.
        Sin embargo, actualmente se sugiere que los pitagóricos llegaron a la noción de inconmensurabilidad a través de la figura del pentágono regular, ante la imposibilidad de medir su diagonal con el lado.
        También se encontraron magnitudes inconmensurables en las secciones áureas. Esto es, cuando una línea x es dividida en dos partes p y q, tal que la razón de x a la parte p, es igual a la razón de p a la otra parte q. Si lo expresamos en la notación simbólica:



La presencia de indica la irracionalidad.

Cuerpos cósmicos

        Del estudio de los polígonos se llegó al estudio de los cuerpos o poliedros. En la Geometría del espacio sólo existen cinco poliedros regulares. Los tres más simples: el cubo, el tetraedro y el octaedro, ya eran conocidos en el antiguo Egipto. Los pitagóricos descubrieron los otros dos: el dodecaedro, compuesto por doce pentágonos regulares; y el icosaedro, limitado por veinte triángulos equiláteros.
        Parece ser que Hipaso fue el primero que logró inscribir un dodecaedro regular en la esfera. Se cuenta que, en contra de la acostumbrada reserva de los pitagóricos, hizo público este descubrimiento y pereció en el mar a causa de este sacrilegio.
        Se designaron a estos poliedros como cuerpos cósmicos. Esta denominación se halla probablemente relacionada con la representación post-pitagórica y atomística de la estructura del Universo. Según esta escuela, los elementos estarían formados por pequeñas partículas, las cuales, en el caso del fuego, tienen la forma de tetraedro; en el aire, octaedro; en el agua, icosaedro; y en la Tierra, cubo. Como la forma del dodecaedro no figura entre las partículas constitutivas de los elementos, se afirmaba que dicha forma servía de plan de construcción del Universo, y hacía las veces de contorno del mismo.



        La doctrina pitagórica no sólo sucumbió frente a sus propias contradicciones internas, sino también ante las críticas que le dirigieran las doctrinas de la Escuela de Elea, cuyo fundador fuera Parménides. Entre sus discípulos se encontraba Zenón de Elea, uno de los mayores críticos de las concepciones pitagóricas. Sus paradojas (Aquiles y la tortuga, la flecha en el aire, etc.) demuestran los absurdos implicados en la concepción de los cuerpos como suma de puntos, o del tiempo como suma de instantes, o del movimiento como suma de tránsitos de un punto a otro.
        Sin embargo, a pesar de que sus descubrimiento matemáticos les sirvieron como confirmación de sus creencias sobrenaturales, dichos descubrimientos constituyen justamente el aporte más valioso de sus pensamientos.

Andrea Morales / Claudio Salpeter

Bibliografía

Babini, José - "Historia sucinta de la ciencia"
Bell, E.T. - "Los Grandes Matemáticos" - Ed. Losada
Boyer, Carl - "Historia de las Matemáticas"
Collerus, Egmont - "Historia de la Matemática"
Farrington, Benjamín - "Ciencia Griega"
Heiberg, J.L. - "La ciencia en la Antigüedad clásica"
Lloyd, G.E. - "De Tales a Aristóteles" - Ed. EUDEBA
Sánchez Sarmiento, Fernando - "Historia de las Matemáticas"
Turnbull, Herbert W. - "Los Grandes Matemáticos" - Ed. Sigma.

NOTAS
1. Título original "Grandes Matemáticos: Pitágoras y la escuela pitagórica". Fuente primaria: Revista Axioma Nro 1 - Mayo/Junio 1996, hace tiempo que el documento no se encuentra en línea.