ACÚSTICA DE LAS MARIMBAS DE BAMBÚ
ESTUDIOS DE ORGANOLOGÍA
ÁNGEL SAMPEDRO DEL RÍO, http://unmundodebambu.com.ar
PRODUCCIÓN DE PRESENCIAS.NET, ARGENTINA, MARZO 2008
ORIGINAL


Una rápida vista de eficiencia de un resonador de Helmholtz

Este trabajo describe sucintamente el funcionamiento de los instrumentos de la familia de los xilófonos, y muestra una medición de efecto de los resonadores en el sonido de los mismos

Introducción

        Los xilófonos, metalófonos, y otros instrumentos de esta familia, son idiófonos de altura tonal determinada, esto es, el sonido está producido por cuerpos sólidos (barras o placas) que emiten un sonido reconocible como una nota musical.
        El material utilizado varía, desde distintos metales, maderas, o, en el caso de los instrumentos que construyo, bambú.
        Si bien se utiliza el término placas para denominar las unidades idiofónicas de estos instrumentos, debe aclararse que una barra es un cuerpo sólido (por ende, no sometido a tensión), en la que una de sus magnitudes (denominada longitud) es sensiblemente superior a las otras dos. En el caso de una placa, dos de esas magnitudes son de orden superior a la tercera (el largo y el ancho, por ejemplo, un platillo). En este trabajo me refiero a barras, pero se le dice comúnmente placa o tecla a cada una de las notas de un xilófono o metalófono.
        En las marimbas de bambú, se utilizan barras obtenidas de tiras de material de un ancho de unos 3,5 a 5 cm. Las longitudes varían según la nota entre unos 60 cm para las notas más graves (Si2) hasta unos 12 cm (Mi7). El espesor del material es variable, entre 0,5 y 1,5 cm, así como también su curvatura.

Variables para afinar una barra de bambú

Definiciones previas

Frecuencia: magnitud física vinculada a la altura del sonido, expresado en Hertz [1] (Hz), u oscilaciones por segundo. Mayor frecuencia da una sensación sonora más aguda, y los sonidos más graves corresponden a frecuencias más bajas.
Modos: cada una de las frecuencias a las que vibra un sistema oscilante. Pueden o no ser múltiplos (armónicos).
Densidad: peso dividido el volumen. Expresado en g/cm3
Elasticidad: presión necesaria para producir una determinada compresión de un material, o inversamente, compresión producida por una determinada presión ejercida sobre un material.

        La frecuencia de la nota buscada es modificada por las dimensiones y formas de la pieza de bambú. Los principales elementos son:

  1. Longitud de la barra: a más larga, disminuye la frecuencia. Por ello barras más largas se utilizan para notas más graves.
  2. Espesor de la barra: a mayor espesor, aumenta la frecuencia. Para la afinación se modifica el espesor en distintas zonas de la barra, que corresponden a nodos o a vientres de la frecuencia modificada.
  3. Densidad y elasticidad del material: son variables inherentes a la pieza de bambú, que modifican la velocidad del sonido interna. A mayor densidad, menor velocidad del sonido, y a mayor rigidez, mayor velocidad del sonido.
  4. Curvatura y ancho: A mayor curvatura, mayor frecuencia. A menor ancho, menor frecuencia.

        Aclaración sobre el ítem 4: En el caso de una barra de sección rectangular, como son las de los metalófonos tipo glockenspiel de metal, o los xilófonos de madera, el ancho no es una variable de la frecuencia. Manteniendo otras magnitudes iguales, puede hacerse una barra más o menos ancha sin variar la afinación (esto puede resultar sospechoso, pero invito a hacer la prueba: medir la frecuencia de un pedazo de madera, cortarlo a lo largo en partes desiguales, y medir después la frecuencia de cada parte) En cambio, el bambú tiene una curvatura, que hace que la barra sea una sección de una corona circular. Al variar el ancho, cambia esa sección. Puede decirse que a igual ancho entre dos barras, es más aguda la más curva. Y a igual curvatura, menor ancho resulta menor frecuencia.

        Las barras tienen frecuencias de resonancia o modos que no son armónicos. Esas frecuencias de resonancia son, exactamente, los sonidos que emiten al ser golpeadas. Puede decirse como pauta que a más alto sea el modo, más corta es su duración en el tiempo, y en general, menor su intensidad.
        Pese a ello, dichos modos son molestos a la hora de la "comprensión" del sonido de la barra. Sabemos que el oído humano es más sensible a algunas frecuencias (siguiendo una curva de sensibilidad, con un máximo entre 1 y 3 KHz) (Ver cuadro). En el caso de barras de sonidos graves, dichos modos superiores corresponden a frecuencias más audibles, por lo tanto, son más molestos.
        Puede entonces procederse de dos maneras: o se los modifica, "afinándolos" con el sonido fundamental buscado, o se los apaga y trata de eliminar.
        En las marimbas de bambú se trabaja con el primer modo de resonancia, o "fundamental", que corresponde al de frecuencia más baja de la barra. Salvo en el caso de barras muy grandes, de frecuencias bajas, los modos superiores de vibración no resultan demasiado molestos.

Gráfico 1

        El cuadro de arriba -gráfico 1- muestra las curvas de igual audibilidad (Fletcher-Munson). Cada curva representa un nivel de decibel [2] es A, es decir, la sensación sonora. El eje vertical, la intensidad sonora (en decibeles), y el horizontal, la frecuencia. Se toma como referencia el valor a 1000Hz La sensibilidad máxima del oído se da cerca de los 3000Hz A esa altura, un sonido débil es aún perceptible.

Ejemplos

- Un sonido de 60 decibeles, se percibe como 40 decibeles a 100Hz, y como 60 decibeles a 1000 Hz;

- Un sonido de 20dbA a 1000Hz, necesita un estímulo de 20db. Para lograr una sensación sonora de 20dbA a 100Hz, necesita de 47db.

* Nótese que un sonido de 20 db será inaudible a 100Hz, y tendrá un valor de 20db a 1000Hz

        Los procedimientos para reforzar el sonido de la fundamental y apagar los de los modos "molestos" son dos:

  1. El apoyo de la barra: para cada modo de vibración, la barra presenta zonas de mínimo movimiento llamados nodos, y zonas de mayor vibración o vientres. Es ideal apoyar la barra en dos puntos que correspondan a nodos de vibración del primer modo, de manera que no interfieran con el mismo y lo "apaguen". Para barras regulares, esos nodos se sitúan en el 22.5% de la longitud.
  2. Acoplarle un resonador aerofónico: al igual que las marimbas convencionales, un resonador de aire afinado en la misma frecuencia que la barra, y colocado convenientemente, produce una mejora en la potencia y duración de la nota de la barra. El fenómeno es algo más complejo, ya que en realidad, no aumenta la duración de la vibración (para ello, el resonador debería generar energía, cosa que no puede hacer), pero si ordena la misma para hacerla más eficiente al oído.

Un par de observaciones

        Las barras no son regulares, desde que para el procedimiento de afinación se desbasta material de distintas zonas. A su vez, el bambú es un material natural con variación de espesores y densidades. Por ello, los nodos suelen desplazarse ligeramente de su posición teórica.
        Respecto al resonador, consiste en un cuerpo de aire afinado, llámese, que una de sus resonancias (o mínimo de impedancia) coincide con la frecuencia de la barra que deseamos "amplificar" (recordemos, no amplifica, sino que ordena).Dependiendo si es un tubo abierto en ambos extremos, o cerrado en uno de ellos, o semicerrado, o con un orificio en una de sus paredes, o si se trata de un cuerpo globular, el resonador de aire presenta o no otros modos de vibración (mínimos de impedancia, Z), armónicos o no con el fundamental. Esto puede brindarle distinto "color" al timbre del sonido resultante.
        Para el caso de las marimbas de bambú, los resonadores son tubos horizontales con una perforación en el centro, y forman una balsa por debajo de las barras. Presentan una frecuencia fundamental con un mínimo de impedancia muy marcado, y algún mínimo muy superior a la misma, normalmente despreciable en valor. Eso hace que sea semejante a un resonador de Helmholtz de forma globular, sin modos de resonancia superiores.

Gráfico 2

        Arriba -gráfico 2-, resonancias de un tubo de bambú con un orificio en el centro. Nótese el pico pronunciado en el rango de frecuencias que interesa reforzar, y la casi ausencia de otras resonancias. Arriba (en números), la primer columna muestra la frecuencia, y la segunda, el valor de admitancia, que da una idea de la intensidad. El ajuste "fino" de la frecuencia de resonancia se logra modificando el tamaño del orificio en el centro del tubo. Calculado con bambures, de John Coltman
        Para realizar una comprobación casera del funcionamiento de un resonador en una marimba de bambú, hice tres mediciones de una barra en La 4 de 440 Hz, golpeada con una baqueta de madera forrada en fieltro.

Imágenes del programa Spectralab

Gráfico 3

  1. Vemos en rojo -gráfico 3-, una barra de La4 inarmónica sostenida en su centro (casi sin sonido fundamental) El segundo modo de vibración, a unos 1200Hz (1), es el más prominente. Nivel de ruido base elevado. Un modo en el orden de 3800Hz es el de mayor valor. (podría ser un cuarto modo, coherente con el modo 2)
  2. Envioleta, la misma barra apoyada al 22.5%. Se reduce el valor del segundo modo, siendo más prominente el primero (2). El tercer modo de unos 2400Hz se pronuncia, reduciendo notablemente el de 3800Hz
  3. En amarillo, la misma barra con un Helmholtz de 440Hz La energía se ordena en esa frecuencia-quedando definitivamente como más prominente (3), manteniendo vibración importante en los modos naturales de la barra. Reduce aún más el de 3800

Modos de resonancia teóricos de una barra

        El modo 1 corresponde a la frecuencia fundamental. Para obtener la frecuencia de modos sucesivos, multiplicar por el valor correspondiente.
        Cabe aclarar que estos valores corresponden a un modelo matemático, por lo que en la realidad, pueden variar. Aún así, nos dan una aproximación más que razonable.

Número de Modo Multiplicar fundamental por Valor en hertz
Modo 1 1 440 Hz
Modo 2 2.756 1212.5 Hz
Modo 3 5.401 2376 Hz
Modo 4 8.928 3928 Hz

Cómo varía la frecuencia con el largo

        Para practicar esta parte, recomiendo contar con una calculadora científica que permita hallar raíces enésimas de un número.
        Si bien esta fórmula responde a un modelo, puede usarse en la realidad para recortar barras con gran aproximación, aún en el caso del bambú, que no son muy regulares.
No es tan exacto, en cambio, para tomar como referencia una placa y predecir a que longitud cortar la próxima, a menos que las barras estén previamente ecualizadas:

Se llaman barras ecualizadas aquellas tiras de bambú que, a igual largo, tienen igual frecuencia de resonancia. En la construcción practica de una marimba o xilófono de bambú, se obtienen tiras del mismo de ancho muy semejante entre sí, abriendo un cilindro de bambú en partes iguales. Como ni la curvatura ni el ancho de la pared son parejos, las barras así obtenidas no tienen igual frecuencia (aunque sí el mismo largo). Para ecualizarlas, se les modifica el ancho, que, como vimos arriba, cambia la frecuencia de resonancia de la barra.

        Se sabe que, dejando otras variables sin tocar, la longitud determina la frecuencia de la placa. A diferencia de un tubo de aire o una cuerda, cuando una barra se corta a la mitad, su sonido fundamental se eleva 2 octavas.
        Siguiendo las relaciones de la escala temperada (de semitonos iguales), la fórmula para elevar la frecuencia n semitonos variando la longitud L es


Siendo L´ la longitud buscada de la nueva barra,
n el número de semitonos,
L la longitud original o de referencia

        Esto es, para subir un semitono una placa de L = 30 cm, hallamos la raíz 24/1 (es decir,


y lo multiplicamos por la longitud

        30 cm * 0.9715 = 29.145 cm

        Esto da que, por ejemplo, si la placa de 30 cm suena en Do, se necesita la barra a 29.145 cm para que dé un Do sostenido.

Otro ejemplo:

Para subir 6 semitonos:

Hallamos la raíz 24/6, es decir,


        Esto es, una placa del 84% de la longitud original, será 6 semitonos más alta.

        Así, da que para obtener una placa una octava más alta que la original, se debe usar la raíz cuadrada (24/12 = 2) de 0,5,


multiplicado por L o longitud original.

        Ahora bien, la misma fórmula puede usarse para valores no enteros de semitonos temperados, como ser un número determinado de cents. Recordando que el cent es la centésima parte del semitono temperado. La octava está dividida en doce semitonos, por lo tanto, una octava = 1200 cents.

        Cortar una placa por la mitad la eleva en frecuencia dos octavas, 2400cents.

        Así, para elevar la frecuencia de una barra un número c de cents,


        Así, para subir una barra 20 cents, usamos la raíz 120 (2400/20)


y lo multiplicamos por la longitud L de la barra.

        De esta manera, puede obtenerse la longitud de cualquier barra más aguda a partir de una ya conocida.

        Invirtiendo las ecuaciones, para obtener una placa un número n de semitonos más baja, debe hacerse

2 n/24 * L

        Entonces, para obtener una placa un semitono más baja, debe hacerse

2 1/24 * L

Bibliografía

Musical Instruments design, Bart Hopkin, CA, USA
Musical Instruments of the world, Sterling Publishing, NY, USA
Historia Universal de los Instrumentos musicales, Curt Sachs. D
Fundamentals of Musical Acoustics, Arthur Benade, USA
The La Favre 5-octave marimba, Jeff Lafavre

Referencias en Internet

Mis marimbas de bambú

Otras marimbas de bambú

Marimbas de bambú ecuatorianas
T´rung vietnamita
Gambang indonesio
Gabbang Filipino
Angklung indonesio
Boo de Harry Partch
Calung Javanés
Tingklik indonesio /1
Tingklik indonesio /2
Rindik balinés: Gamelan de bambú (similar principio que las marimbas)
(enviada por Samuel Wantman)

NOTAS
1. Nombre común del Hercio.
2. Nombre común del decibelio.